${\displaystyle {}L}$

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}$

eine stetige Abbildung. Es sei ${\displaystyle {}S\subseteq L}$ eine zusammenhängende Teilmenge. Dann ist auch das Bild

${\displaystyle f(S)}$

${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Funktion. Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung

${\displaystyle y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}}$

über die Beziehung

${\displaystyle v_{i}:=y^{(i)}}$

äquivalent zum Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}U\subseteq V}$

${\displaystyle h\colon U\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine differenzierbare Funktion und

${\displaystyle U\longrightarrow V,\,P\longmapsto G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P),}$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon J\longrightarrow U}$

eine Lösung der Differentialgleichung

${\displaystyle v'=G(v).}$

Dann steht ${\displaystyle {}\varphi '(t)}$ senkrecht auf dem Tangentialraum ${\displaystyle {}T_{\varphi (t)}F}$ der Faser ${\displaystyle {}F}$ von ${\displaystyle {}h}$ durch ${\displaystyle {}\varphi (t)}$ für alle ${\displaystyle {}t\in J}$, für die ${\displaystyle {}\varphi (t)}$ reguläre Punkte

${\displaystyle {}h}$