Skizziere die folgenden Nullstellengebilde in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$.

1. ${\displaystyle {}V(XY-1)}$,
2. ${\displaystyle {}V(XY+1)}$,
3. ${\displaystyle {}V(X^{2}Y-1)}$,
4. ${\displaystyle {}V(X^{2}Y^{2}-1)}$.

Skizziere die folgenden Nullstellengebilde in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$.

1. ${\displaystyle {}V(X^{2}-Y^{2})}$,
2. ${\displaystyle {}V(X^{2}Y-XY^{2})}$,
3. ${\displaystyle {}V(X^{2}-XY^{2})}$,
4. ${\displaystyle {}V(X^{2}-Y^{3})}$,
5. ${\displaystyle {}V(X^{2}-Y^{4})}$.

Bestimme die Nullstellenmenge der binomialen Gleichung ${\displaystyle {}X^{n}=1}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, seien ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {N} }$ teilerfremde Zahlen und sei ${\displaystyle {}X^{a}-Y^{b}\in K[X,Y]}$ das zugehörige binomiale Polynom. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Das Polynom ${\displaystyle {}X^{a}-Y^{b}}$ ist irreduzibel.
2. Es gibt eine bijektive polynomiale Abbildung

   ${\displaystyle K\longrightarrow V(X^{a}-Y^{b})\subseteq K^{2},\,t\longmapsto (t^{b},t^{a}).}$

3. Bei ${\displaystyle {}a,b\geq 2}$ besitzt ${\displaystyle {}V(X^{a}-Y^{b})}$ eine isolierte Singularität im Nullpunkt.

Betrachte die durch

${\displaystyle {}C=V{\left(X^{d+1}-Y^{d}\right)}\,}$

definierte algebraische Kurve ${\displaystyle {}C}$ (${\displaystyle d\geq 1}$). Zeige, dass man folgendermaßen, ausgehend von der Geraden ${\displaystyle {}H=V(X-1)}$, eine Parametrisierung von ${\displaystyle {}C}$ erhält: Zu einem Punkt ${\displaystyle {}P\in H}$ bestimmt man die Verbindungsgerade ${\displaystyle {}G_{P}}$ von ${\displaystyle {}P}$ und dem Nullpunkt und den einzigen (?) vom Nullpunkt verschiedenen Punkt von ${\displaystyle {}C\cap G_{P}}$. Zeige, dass die Abbildung, die ${\displaystyle {}P}$ auf diesen Punkt abbildet, algebraisch ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, seien ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {N} }$ teilerfremde Zahlen und sei ${\displaystyle {}X^{a}-Y^{b}\in K[X,Y]}$ das zugehörige binomiale Polynom.

1. Zeige, dass der durch ${\displaystyle {}X\mapsto T^{b}}$, ${\displaystyle {}Y\mapsto T^{a}}$, gegebene ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus

   ${\displaystyle K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\longrightarrow K[T]}$

   injektiv ist.

2. Zeige, dass dieser Homomorphismus einen Isomorphismus

   ${\displaystyle {\left(K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\right)}_{X}\longrightarrow K[T]_{T}}$

   induziert.

3. Man folgere, dass für jedes ${\displaystyle {}c\in K}$, ${\displaystyle {}c\neq 0}$, ein Isomorphismus von lokalen Ringen

   ${\displaystyle {\left(K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\right)}_{(X-c^{b},Y-c^{a})}\longrightarrow K[T]_{(T-c)}}$

   vorliegt.

4. Zeige, dass der induzierte Homomorphismus

   ${\displaystyle {\left(K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\right)}_{(X,Y)}\longrightarrow K[T]_{(T)}}$

   kein Isomorphismus ist.

Ein wichtiger und suggestiver Ansatz, um die lokale Dimension einer (eingebetteten) Varietät ${\displaystyle {}V\subseteq K^{n}}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle {}K}$ in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in V}$ zu erfassen, ist es, ${\displaystyle {}V}$ mit affin-linearen Unterräumen ${\displaystyle {}L}$ unterschiedlicher Dimension, die durch den Punkt verlaufen, zu schneiden, und zu schauen, ob der Durchschnitt den Punkt isoliert, ob also in einer offenen Umgebung des Punktes ${\displaystyle {}V\cap L=\{P\}}$ gilt. Die lokale Dimension ${\displaystyle {}d}$ im Punkt ${\displaystyle {}P}$ ist dann definiert durch die Eigenschaft, dass es ${\displaystyle {}n-d}$-dimensionale lineare Räume durch den Punkt ${\displaystyle {}P}$ gibt, die den Punkt isolieren, aber keine ${\displaystyle {}n-d+1}$-dimensionale Räume mit dieser Eigenschaft. Beispielsweise ist

${\displaystyle {}P\in V\subseteq K^{3}\,}$

zweidimensional, wenn es Geraden gibt, die den Punkt herausschneiden, aber der Schnitt mit jeder Ebene den Punkt nicht herausschneidet.

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${\displaystyle {}V=V(XY-Z^{n})\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}}$.

1. Zeige, dass der Durchschnitt von ${\displaystyle {}V}$ mit jeder Ebene durch den Nullpunkt nicht nur aus endlich vielen Punkten besteht.
2. Zeige, dass es Geraden durch den Nullpunkt derart gibt, dass der Durchschnitt ${\displaystyle {}V\cap G}$ nur aus endlich vielen Punkten besteht.

Es sei

${\displaystyle {}V=V{\left(Z^{2}-X^{2}-Y^{2}\right)}\subset \mathbb {R} ^{3}\,}$

der reelle Standardkegel. Zeige, dass es eine Ebene durch den Nullpunkt mit

${\displaystyle {}V\cap E=\{(0,0,0)\}\,}$

gibt.

Es sei

${\displaystyle {}V=V{\left(Z^{2}-XY\right)}\subset \mathbb {R} ^{3}\,.}$

Zeige, dass es eine Ebene durch den Nullpunkt mit

${\displaystyle {}V\cap E=\{(0,0,0)\}\,}$

gibt.

Sei

${\displaystyle {}V=V(Z^{2}-XY)\subset \mathbb {R} ^{3}\,}$

und setze

${\displaystyle {}V_{+}={\left\{(x,y,z)\in V\setminus \{(0,0,0)\}\mid x,y\geq 0\right\}}\,.}$

Zeige, dass

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times S^{1}\longrightarrow V_{+},\,(\alpha ,\theta )\longmapsto \left({\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\alpha }{2}}\sin \theta ,\,{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {\alpha }{2}}\sin \theta ,\,{\frac {\alpha }{2}}\cos \theta \right),}$

eine Homöomorphie ist.

Zeige, dass die ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-Algebren ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X,Y,Z]/(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})}$ und ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X,Y,Z]/(Z^{2}-XY)}$ isomorph sind, aber nicht, wenn man ${\displaystyle {}Z}$ auf ${\displaystyle {}Z}$ abbildet.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${\displaystyle {}V(f)\subseteq K^{n}}$ die algebraische Hyperfläche zu einem nichtkonstanten Polynom ${\displaystyle {}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. Sei ${\displaystyle {}P\in V}$ ein Punkt. Zeige, dass es Geraden durch den Punkt ${\displaystyle {}P}$ gibt, deren Durchschnitt mit ${\displaystyle {}V}$ endlich ist. Zeige, dass der Durchschnitt von ${\displaystyle {}V}$ mit jeder Ebene durch den Punkt ${\displaystyle {}P}$ nicht endlich ist (und dass ${\displaystyle {}P}$ kein isolierter Punkt des Durchschnitts ist).

Bestimme die singulären Punkte der durch ${\displaystyle {}X^{a}Y^{b}=Z^{c}}$ gegebenen Hyperfläche im ${\displaystyle {}\mathbb {C} ^{3}}$

1. Zeige, dass der Restklassenring

   ${\displaystyle K[X,Y,Z]/(X-YZ,Y-XZ)}$

   zum Restklassenring

   ${\displaystyle K[X,Z]/{\left(X-XZ^{2}\right)}}$

   isomorph ist.

2. Bestimme die irreduziblen Komponenten von

   ${\displaystyle {}V{\left(X-XZ^{2}\right)}\subseteq K^{2}\,.}$

3. Bestimme die singulären Punkte von ${\displaystyle {}V{\left(X-XZ^{2}\right)}}$.

Bestimme die irreduziblen Komponenten von

${\displaystyle {}V{\left(XY-Z^{3},X^{2}Z-Y^{2}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{3}}\,}$

Betrachte das Ideal

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\left(U^{5}-V^{3},U^{11}-W^{3},V^{11}-W^{5}\right)}\subseteq K[U,V,W]\,}$

und das zugehörige Nullstellengebilde ${\displaystyle {}Z=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}W-U^{2}V}$ zum Radikal von ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ gehört. Zeige damit, dass ${\displaystyle {}Z}$ isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.

Zeige, dass in ${\displaystyle {}K[X,Y]_{(X,Y)}/(X^{2}-Y^{3})}$ jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist.

Wir betrachten die beiden Abbildungen

${\displaystyle (s,t)\longmapsto (s^{2},t^{2},st)=(x,y,z){\text{ und }}(s,t)\longmapsto (s,st^{2},st)=(x,y,z).}$

Zeige, dass das Bild der beiden Abbildungen die gleiche algebraische Gleichung ${\displaystyle {}F}$ erfüllt. Untersuche die Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach ${\displaystyle {}V(F)}$). Welche Abbildung liefert eine „bessere“ Beschreibung von ${\displaystyle {}V(F)}$?

Zeige, dass die Nullstellenmenge

${\displaystyle {}V(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)\subseteq {\mathbb {K} }^{6}\,}$

wegzusammenhängend ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und

${\displaystyle {}V(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)\subseteq K^{6}\,.}$

1. Zeige, dass der Durchschnitt ${\displaystyle {}V\cap L}$ mit dreidimensionalen Untervektorräumen ${\displaystyle {}L\subset K^{6}}$ nicht nur aus endlich vielen Punkten besteht.
2. Zeige, dass es zweidimensionale Untervektorräume ${\displaystyle {}L\subset K^{6}}$ derart gibt, dass der Durchschnitt ${\displaystyle {}V\cap L}$ nur aus endlich vielen Punkten besteht.

Zeige, dass der ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus ${\displaystyle {}K[X,Y,Z,U,V,W]\rightarrow K[X,Y,Z,T]}$ mit

${\displaystyle X\mapsto X,\,Y\mapsto Y,\,Z\mapsto Z,\,U\mapsto XT,\,V\mapsto YT,\,W\mapsto ZT,}$

das Ideal ${\displaystyle {}(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)}$ zum Kern gehört. Zeige, dass der induzierte Ringhomomorphismus

${\displaystyle {\left(K[X,Y,Z,U,V,W]/(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)\right)}_{Z}\longrightarrow K[X,Y,Z,T]_{Z}}$

ein Isomorphismus ist.

Zeige, dass das Ideal

${\displaystyle {}(XV-YU,YW-ZV,XW-ZU)\subseteq K[X,Y,Z,U,V,W]\,}$

ein Primideal ist.

Zeige, dass die in Beispiel 5.1 beschriebene Abbildung

${\displaystyle {\left(K^{\times }\right)}^{n-1}\longrightarrow V{\left(X_{1}\cdots X_{n}-1\right)},\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1}\right)\longmapsto \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1},\,{\frac {1}{x_{1}\cdots x_{n-1}}}\right),}$

ein Gruppenisomorphismus (bezüglich der multiplikativen Strukturen) ist.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}f\in R}$ mit zugehöriger Nenneraufnahme ${\displaystyle {}R_{f}}$. Beweise die ${\displaystyle {}R}$-Algebraisomorphie

${\displaystyle {}R_{f}\cong R[T]/(Tf-1)\,.}$