Seien ${\displaystyle {}L,M,N}$ Mengen und

${\displaystyle f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N}$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

${\displaystyle g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).}$

Zeige: Wenn ${\displaystyle {}g\circ f}$ injektiv ist, so ist auch ${\displaystyle {}f}$ injektiv.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von ${\displaystyle {}M}$ in die Potenzmenge ${\displaystyle {}{\mathfrak {P}}\,(M)}$ geben kann.

Betrachte auf ${\displaystyle {}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})}$ die Relation

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d),\,{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ${\displaystyle {}(a,b)}$ ein äquivalentes Paar ${\displaystyle {}(a',b')}$ mit ${\displaystyle {}b'>0}$ gibt.

c) Es sei ${\displaystyle {}M}$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,z\longmapsto [(z,1)].}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ injektiv ist.

d) Definiere auf ${\displaystyle {}M}$ (aus Teil c) eine Verknüpfung ${\displaystyle {}+}$ derart, dass ${\displaystyle {}M}$ mit dieser Verknüpfung und mit ${\displaystyle {}[(0,1)]}$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$ die Beziehung

${\displaystyle {}\varphi (z_{1}+z_{2})=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,}$

für alle ${\displaystyle {}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z} }$ gilt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für ${\displaystyle {}x\geq 3}$ die Beziehung

${\displaystyle x^{2}+(x+1)^{2}\geq (x+2)^{2}}$

Beweise durch Induktion, dass für

${\displaystyle {}n\geq 10\,}$

die Abschätzung

${\displaystyle {}3^{n}\geq n^{4}\,}$

gilt.

Entscheide, ob die Folge

${\displaystyle {}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein angeordneter Körper und sei

${\displaystyle V=K^{\mathbb {N} _{+}}}$

der Vektorraum aller Folgen in ${\displaystyle {}K}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

a) Zeige (ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also

${\displaystyle U={\left\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}\mid (x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{+}}{\text{ konvergiert gegen 0}}\right\}}}$

ein ${\displaystyle {}K}$-Untervektorraum von ${\displaystyle {}V}$ ist.

b) Sind die beiden Folgen

${\displaystyle (1/n)_{n\in \mathbb {N} _{+}}{\text{ und }}(1/n^{2})_{n\in \mathbb {N} _{+}}}$

linear unabhängig in ${\displaystyle {}V}$?

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&-1-3{\mathrm {i} }&-1\\{\mathrm {i} }&0&4-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }\\1-{\mathrm {i} }\\2+5{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ seien ${\displaystyle {}K}$-Vektorräume und

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

sei eine ${\displaystyle {}K}$-lineare Abbildung. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ genau dann injektiv ist, wenn ${\displaystyle {}\operatorname {kern} \varphi =0}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ Vektorräume über ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}V}$ und es sei ${\displaystyle {}w_{1},\ldots ,w_{n}}$ eine Familie von Vektoren in ${\displaystyle {}W}$.

a) Zeige, dass es maximal eine lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

${\displaystyle {}\varphi (v_{i})=w_{i}}$

${\displaystyle {}i}$

geben kann.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit ${\displaystyle {}\varphi (v_{i})=w_{i}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$ gibt.

Bestimme den Kern der linearen Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}2&1&5&2\\3&-2&7&-1\\2&-1&-4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.}$

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}2+5{\mathrm {i} }&1-2{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,}$

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {}M{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}54+72{\mathrm {i} }\\0\end{pmatrix}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}K}$-Vektorräume mit ${\displaystyle {}\operatorname {dim} _{}\left(V\right)=n}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {dim} _{}\left(W\right)=m}$. Welche Dimension besitzt der Produktraum ${\displaystyle {}V\times W}$?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ Vektorräume über ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}}$ der ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum der linearen Abbildungen von ${\displaystyle {}V}$ nach ${\displaystyle {}W}$ und es sei ${\displaystyle {}v\in V}$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle F\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W,\,\varphi \longmapsto F(\varphi ):=\varphi (v),}$

${\displaystyle {}K}$-linear ist.