Betrachte auf ${\displaystyle {}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})}$ die Relation

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d),\,{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ${\displaystyle {}(a,b)}$ ein äquivalentes Paar ${\displaystyle {}(a',b')}$ mit ${\displaystyle {}b'>0}$ gibt.

c) Es sei ${\displaystyle {}M}$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,z\longmapsto [(z,1)].}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ injektiv ist.

d) Definiere auf ${\displaystyle {}M}$ (aus Teil c) eine Verknüpfung ${\displaystyle {}+}$ derart, dass ${\displaystyle {}M}$ mit dieser Verknüpfung und mit ${\displaystyle {}[(0,1)]}$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$ die Beziehung

${\displaystyle {}\varphi (z_{1}+z_{2})=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,}$

${\displaystyle {}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z} }$