a) Wegen der Kommutativität der Multiplikation in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ ist ${\displaystyle {}ab=ba}$, woraus die Reflexivität folgt. Zur Symmetrie sei ${\displaystyle {}(a,b)\sim (c,d)}$, also ${\displaystyle {}ad=bc}$. Dann ist auch ${\displaystyle {}cb=da}$, was ${\displaystyle {}(c,d)\sim (a,b)}$

bedeutet. Zur Transitivität sei

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d){\text{ und }}(c,d)\sim (e,f),}$

also

${\displaystyle ad=bc{\text{ und }}cf=de.}$

Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich

${\displaystyle {}adf=bcf=bde\,.}$

Da

${\displaystyle {}d\neq 0}$ ist, folgt daraus ${\displaystyle {}af=be}$, was ${\displaystyle {}(a,b)\sim (e,f)}$ bedeutet.

b) Es sei ${\displaystyle {}(a,b)}$ vorgegeben. Wegen ${\displaystyle {}b\neq 0}$ ist ${\displaystyle {}b>0}$ oder ${\displaystyle {}b<0}$. Bei ${\displaystyle {}b>0}$ sind wir fertig, da ${\displaystyle {}(a,b)}$ zu sich selbst äquivalent ist. Bei ${\displaystyle {}b<0}$ betrachten wir ${\displaystyle {}(-a,-b)}$. Der

zweite Eintrag ist positiv, und wegen

${\displaystyle {}a(-b)=-(ab)=b(-a)\,}$

sind ${\displaystyle {}(a,b)}$ und ${\displaystyle {}(-a,-b)}$ äquivalent zueinander.

c) Seien ${\displaystyle {}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z} }$ vorgegeben und ${\displaystyle {}\varphi (z_{1})=\varphi (z_{2})}$. Das bedeutet

${\displaystyle {}[(z_{1},1)]=[(z_{2},1)]}$ bzw. ${\displaystyle {}(z_{1},1)\sim (z_{2},1)}$, also

${\displaystyle {}z_{1}=z_{1}1=1z_{2}=z_{2}\,.}$

d) Wir setzen

${\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+cb,bd)].}$

Wegen ${\displaystyle {}b,d\neq 0}$ ist auch

${\displaystyle {}bd\neq 0}$. Zur Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung sei

${\displaystyle (a,b)\sim (a',b'){\text{ und }}(c,d)\sim (c',d'),}$

also

${\displaystyle ab'=a'b{\text{ und }}cd'=c'd.}$

Wir behaupten

${\displaystyle (ad+cb,bd)\sim (a'd'+c'b',b'd').}$

Dies folgt aus

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(ad+cb)b'd'&=adb'd'+cbb'd'\\&=ab'dd'+cd'bb'\\&=a'bdd'+c'dbb'\\&=bda'd'+bdc'b'\\&=bd(a'd'+c'b').\end{aligned}}}$

Die Assoziativität folgt aus

${\displaystyle {}{\begin{aligned}([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]&=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]\\&=[(ad+bc)f+bde,bdf]\\&=[adf+bcf+bde,bdf]\\&=[adf+b(cf+de),bdf]\\&=[(a,b)]+([(cf+de,df)])\\&=[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)]).\end{aligned}}}$

Wegen

${\displaystyle {}[(a,b)]+[(0,1)]=[(a1+b0,b1)]=[(a,b)]\,}$

(und ebenso

in der anderen Reihenfolge) ist ${\displaystyle {}(0,1)}$ das neutrale Element.

Wir behaupten, dass zu ${\displaystyle {}[(a,b)]}$ das inverse Element durch ${\displaystyle {}[(-a,b)]}$ gegeben ist. Dies folgt aus

${\displaystyle {}[(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab+b(-a),b^{2})]=[(ab-ab,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]\,,}$

wobei die letzte Gleichung sich aus ${\displaystyle {}0\cdot 1=0\cdot b^{2}}$ ergibt (ebenso in der anderen Reihenfolge).

Schließlich ist für${\displaystyle {}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {}\varphi (z_{1}+z_{2})=[(z_{1}+z_{2},1)]=[(z_{1}\cdot 1+1\cdot z_{2},1\cdot 1)]=[(z_{1},1)]+[(z_{2},1)]=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,.}$