Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{n},}$

 für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {C} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{n},}$

 für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {Z} }$.

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{\frac {1}{n}},}$

 für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$.

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{q},}$

 für jedes ${\displaystyle {}q\in \mathbb {Q} }$.

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,}$

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {C} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+1}{x^{3}}}.}$

Es sei ${\displaystyle {}f(x)=x^{3}+4x^{2}-1}$ und ${\displaystyle {}g(y)=y^{2}-y+2}$. Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung ${\displaystyle {}h(x)=g(f(x))}$ direkt und mittels der Kettenregel.

Es sei ${\displaystyle {}f(x)={\frac {x^{2}+5x-2}{x+1}}}$ und ${\displaystyle {}g(y)={\frac {y-2}{y^{2}+3}}}$. Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung ${\displaystyle {}h(x)=g(f(x))}$ direkt und mittels der Kettenregel.

Zeige, dass ein Polynom ${\displaystyle {}P\in \mathbb {C} [X]}$ genau dann einen Grad ${\displaystyle {}\leq d}$ besitzt (oder ${\displaystyle {}P=0}$ ist), wenn die ${\displaystyle {}(d+1)}$-te Ableitung von ${\displaystyle {}P}$ das Nullpolynom ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ Vektorräume über ${\displaystyle {}K}$. Eine Abbildung

${\displaystyle \alpha \colon V\longrightarrow W,\,v\longmapsto \alpha (v)=\varphi (v)+w,}$

wobei ${\displaystyle {}\varphi }$ eine lineare Abbildung und ${\displaystyle {}w\in W}$ ein Vektor ist, heißt affin-linear.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}W}$ ein ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum. Zeige, dass es zu zwei Vektoren ${\displaystyle {}u,v\in W}$ genau eine affin-lineare Abbildung

${\displaystyle \alpha \colon K\longrightarrow W}$

gibt mit ${\displaystyle {}\alpha (0)=u}$ und ${\displaystyle {}\alpha (1)=v}$.

Bestimme die affin-lineare Abbildung

${\displaystyle \alpha \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

mit ${\displaystyle {}\alpha (0)=(2,3,4)}$ und ${\displaystyle {}\alpha (1)=(5,-2,-1)}$.

Bestimme die affin-lineare Abbildung

${\displaystyle \alpha \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,}$

deren Graph durch die beiden Punkte ${\displaystyle {}(-2,3)}$ und ${\displaystyle {}(5,-7)}$ verläuft.

Es sei ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ und seien

${\displaystyle f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

zwei ${\displaystyle {}n}$-mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

${\displaystyle {}(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,}$

gilt.

Sei ${\displaystyle {}d\in \mathbb {N} }$ und sei für jedes ${\displaystyle {}i\in \{0,1,\ldots ,d\}}$ eine konvergente Folge

${\displaystyle {\left(c_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$ gegeben, deren Limes mit ${\displaystyle {}c_{i}}$ bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge ${\displaystyle {}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ von Polynomen vom Grad ${\displaystyle {}\leq d}$, die durch

${\displaystyle {}f_{n}:=c_{dn}x^{d}+c_{d-1\,n}x^{d-1}+\cdots +c_{2n}x^{2}+c_{1n}x+c_{0n}\,}$

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder kompakten Kreisscheibe ${\displaystyle {}B\left(0,r\right)}$ gleichmäßig gegen

${\displaystyle {}f=c_{d}x^{d}+c_{d-1}x^{d-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}\,}$

konvergiert.

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon D\longrightarrow \mathbb {C} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+x-1}{x^{3}-x+2}},}$

wobei ${\displaystyle {}D}$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.

Bestimme, ob die komplexe Konjugation

${\displaystyle \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto {\overline {z}},}$

differenzierbar ist oder nicht.

Sei ${\displaystyle {}D\subseteq {\mathbb {K} }}$ offen und seien

${\displaystyle f_{i}\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,i=1,\ldots ,n,}$

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel

${\displaystyle (f_{1}{\cdots }f_{n})'=\sum _{i=1}^{n}f_{1}{\cdots }f_{i-1}f_{i}'f_{i+1}{\cdots }f_{n}.}$

Es sei ${\displaystyle {}P\in \mathbb {C} [X]}$ ein Polynom, ${\displaystyle {}a\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$. Zeige, dass ${\displaystyle {}P}$ genau dann ein Vielfaches von ${\displaystyle {}(X-a)^{n}}$ ist, wenn ${\displaystyle {}a}$ eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ${\displaystyle {}P,P^{\prime },P^{\prime \prime },\ldots ,P^{(n-1)}}$ ist.

Es sei

${\displaystyle F\colon D\longrightarrow \mathbb {C} }$

eine rationale Funktion. Zeige, dass ${\displaystyle {}F}$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit ${\displaystyle {}F^{(n)}=0}$ gibt.