Sei ${\displaystyle {}d\in \mathbb {N} }$ und sei für jedes ${\displaystyle {}i\in \{0,1,\ldots ,d\}}$ eine konvergente Folge

${\displaystyle {\left(c_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$ gegeben, deren Limes mit ${\displaystyle {}c_{i}}$ bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge ${\displaystyle {}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ von Polynomen vom Grad ${\displaystyle {}\leq d}$, die durch

${\displaystyle {}f_{n}:=c_{dn}x^{d}+c_{d-1\,n}x^{d-1}+\cdots +c_{2n}x^{2}+c_{1n}x+c_{0n}\,}$

definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder kompakten Kreisscheibe ${\displaystyle {}B\left(0,r\right)}$ gleichmäßig gegen

${\displaystyle {}f=c_{d}x^{d}+c_{d-1}x^{d-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}\,}$