Es sei ${\displaystyle {}T}$ eine Menge und

${\displaystyle f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },}$

(${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }}$

derart gibt, dass es zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ ein ${\displaystyle {}n_{0}}$ mit

${\displaystyle d{\left(f_{n}(x),f(x)\right)}\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0}{\text{ und alle }}x\in T}$

gibt.