Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das uneigentliche Integral zu einer stetigen Funktion

   ${\displaystyle f\colon [0,+\infty ]\longrightarrow \mathbb {R} .}$

2. Die Konvergenz einer Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.
3. Eine gleichmäßig stetige Abbildung

   ${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}$

   zwischen den metrischen Räumen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$.

4. Die Länge eines Streckenzugs

   ${\displaystyle [P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]}$

   mit ${\displaystyle {}P_{i}\in \mathbb {R} ^{n}}$.

5. Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$).
6. Die Richtungsableitung einer Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

   in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$ in Richtung eines Vektors ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{n}}$.

7. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ auf einem ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ bezüglich einer Basis ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ von ${\displaystyle {}V}$.
8. Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes

   ${\displaystyle G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},}$

   wobei ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge ist.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Stetigkeit von linearen Abbildungen.
2. Die Folgencharakterisierung von kompakten Teilmengen ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.
3. Der Satz über den Lösungsraum eines diagonalisierbaren linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
4. Die Taylor-Formel für eine ${\displaystyle {}k}$-fach stetig differenzierbare Funktion

   ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$

   in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Zeige, dass das offene Einheitsintervall ${\displaystyle {}]0,1[}$ und das abgeschlossene Einheitsintervall ${\displaystyle {}[0,1]}$ nicht homöomorph sind.

Beweise den Satz über die Folgencharakterisierung von kompakten Teilmengen ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$.

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{2}}x^{2}-x+13,}$

zwischen ${\displaystyle {}4}$ und ${\displaystyle {}8}$.

Berechne das Wegintegral zur archimedischen Spirale

${\displaystyle [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right),}$

im Vektorfeld

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(y,\,-x\right).}$

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.}$

b) Löse das Anfangswertproblem

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,}$

mit der Anfangsbedingung

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,.}$

Bestimme zur Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2},}$

die Richtungsableitung in Richtung ${\displaystyle {}3}$ für jeden Punkt.

Skizziere die Nullstellenmenge (die Niveaumenge zum Wert ${\displaystyle {}0}$) einer Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$

mit ${\displaystyle {}f(0,0)=0}$ und der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}(0,0)}$ kein lokales Minimum besitzt, dass aber die Einschränkung von ${\displaystyle {}f}$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt ein lokales Minimum besitzt.

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {\sin x}{x^{2}+y^{4}}},\,{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}},\,\ln(x^{2}+y^{2})\right),}$

in jedem Punkt.

Es sei ${\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {}f(t,x)=\sin \left(\lambda x\right)e^{-\lambda ^{2}t}\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ die Wärmeleitungsgleichung

${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,}$

erfüllt.

Es sei

${\displaystyle f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei ${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Menge sei. Zeige, dass für ${\displaystyle {}P\in G}$ und ${\displaystyle {}v\in V}$ die Beziehung

${\displaystyle {}\sum _{r\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =2}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}={\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P}\,f(v,v)\,}$

gilt.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetig differenzierbare Funktion mit

${\displaystyle {}f(P)=f(-P)\,}$

für alle ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}0}$ einen kritischen Punkt besitzt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ${\displaystyle {}0}$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt.

c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ${\displaystyle {}0}$ kein Extremum besitzt.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

eine total differenzierbare Abbildung derart, dass es eine reelle Zahl ${\displaystyle {}c\in [0,1[}$ gibt mit

${\displaystyle {}\Vert {\left(D\varphi \right)_{P}}\Vert \leq c\,}$

für alle ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.

Beweise den Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}.}$

Für welche Punkte ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$ sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?

Für eine Party soll eine Bowle gemischt werden, wobei ${\displaystyle {}100}$ Euro zur Verfügung stehen. Die Zutaten sind Orangensaft, Erdbeeren, Rum und Sekt. Die Preisfunktion ist

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z,w)\longmapsto x+y+5z+3w.}$

Die Stimmungsfunktion ${\displaystyle {}h}$ wird durch

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} _{+}^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z,w)\longmapsto x^{3}y{\sqrt {z}}w,}$

beschrieben. Bei welchem Mischungsverhältnis wird die Stimmung optimiert? (Es genügt, den (die) kritischen Punkt(e) für die Lagrange-Bedingung auszurechnen).