Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Orthogonale Vektoren ${\displaystyle {}v,w\in V}$ in einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.
2. Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
3. Eine hermitesche Matrix.
4. Ein normaler Endomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem endlichdimensionalen ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorraum mit Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$.

5. Eine Äquivalenzrelation ${\displaystyle {}\sim }$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$.
6. Ein Unterkörper ${\displaystyle {}K}$ eines Körpers ${\displaystyle {}L}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Polarisationsformel für ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum.
2. Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$. Zeige, dass für ${\displaystyle {}u,v\in V}$ die Gleichheit ${\displaystyle {}\Vert {u}\Vert =\Vert {v}\Vert }$ genau dann gilt, wenn ${\displaystyle {}\left\langle u+v,u-v\right\rangle =0}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}a,b,c}$ die Seitenlängen eines Dreiecks. Zeige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks gleich

${\displaystyle {}F={\frac {\sqrt {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}}\,}$

ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum und ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine symmetrische Bilinearform auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass die Bilinearform genau dann nicht ausgeartet ist, wenn die Gramsche Matrix der Bilinearform bezüglich einer Basis invertierbar ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum und ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine symmetrische Bilinearform auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}V}$ eine Orthogonalbasis besitzt.

Berechne

${\displaystyle \left\langle {\begin{pmatrix}6\\-1\\4\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-5\\-5\\7\\-2\end{pmatrix}}\right\rangle }$

in einem vierdimensionalen Standard-Minkowski-Raum.

Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, die durch die möglichen Züge des Springers im Schach gegeben ist, und zwar auf den folgenden Schachbrettern.

1. Das ${\displaystyle {}2\times 2}$-Brett.
2. Das ${\displaystyle {}3\times 3}$-Brett.
3. Das ${\displaystyle {}4\times 4}$-Brett.

Für ein doppelverpacktes Geschenk soll eine würfelförmige Schachtel in eine etwas größere würfelförmige Schachtel hineingelegt werden. Bestimme auf unterschiedliche Arten, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt.

Beweise den Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln ${\displaystyle {}U{\left(x,\epsilon \right)}}$ offen sind.

Sei

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&1\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.}$

1. Erstelle eine Formel für ${\displaystyle {}M^{n}}$.
2. Ist die Folge ${\displaystyle {}M^{n}}$ beschränkt, ist sie konvergent?