Sei ${\displaystyle {}R=K[X,Y,W,Z]/(XY-ZW)}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(X,Z)}$. Zeige, dass das maximale Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$ durch ein Element erzeugt wird, dass aber ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ weder in ${\displaystyle {}R}$ noch in ${\displaystyle {}R_{(X,Y,Z,W)}}$ durch ein Element erzeugt wird (und zwar auch nicht als Radikal).

Es sei eine Blockmatrix der Form

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}}\,}$

gegeben. Zeige, dass der Rang von ${\displaystyle {}M}$ gleich der Summe der Ränge von ${\displaystyle {}A}$ und von ${\displaystyle {}B}$ ist.

Skizziere die Diagonale auf dem Torus (in seiner dreidimensionalen Realisierung).

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

${\displaystyle {}\triangle ={\left\{(x,y)\in X\times X\mid x=y\right\}}\,}$

eine abgeschlossene Teilmenge im Produktraum ${\displaystyle {}X\times X}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow M\times M,\,x\longmapsto (x,x),}$

die Diagonalabbildung in das Produkt ${\displaystyle {}M\times M}$. Zeige, dass die Diagonale ${\displaystyle {}\varphi (M)}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist.

Zeige, dass die Diagonale ${\displaystyle {}\Delta \subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$ durch ${\displaystyle {}n}$ Polynome beschrieben wird.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}V}$ eine affin-algebraische Menge über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass die Diagonale

${\displaystyle V\longrightarrow V\times V,\,P\longmapsto (P,P),}$

eine abgeschlossene Einbettung ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, sei ${\displaystyle {}V}$ eine affin-algebraische Menge über ${\displaystyle {}K}$ und sei ${\displaystyle {}U=D(g)\subseteq V}$ eine Zariski-offene affine Teilmenge. Zeige, dass

${\displaystyle {}U\times U\subseteq V\times V\,}$

ebenfalls eine affine offene Teilmenge ist.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ affine Varietäten und

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine durch Polynome gegebene Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung eine abgeschlossene Teilmenge in der Produktvarietät ${\displaystyle {}V\times W}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}P\in V}$ ein glatter Punkt einer affin-algebraischen Menge ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung ${\displaystyle {}P\in U\subseteq V}$ derart gibt, dass ${\displaystyle {}U}$ in jedem Punkt glatt ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ein Ideal und ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ ein multiplikatives System. In der Nenneraufnahme ${\displaystyle {}R_{S}}$ gelte

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}R_{S}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,.}$

Zeige, dass es ein ${\displaystyle {}g\in S}$ und Elemente ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}\in R}$ mit

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}R_{g}={\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}\,}$

gibt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul und ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ ein multiplikatives System. Der ${\displaystyle {}R_{S}}$-Modul ${\displaystyle {}M_{S}}$ werde durch ${\displaystyle {}n}$ Elemente erzeugt. Zeige, dass es dann ein ${\displaystyle {}g\in S}$ derart gibt, dass auch der ${\displaystyle {}S_{g}}$-Modul ${\displaystyle {}M_{g}}$ durch ${\displaystyle {}n}$ Elemente erzeugt wird.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ der lokale Ring zu einer affinen Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Beweise Satz 18.8 mit Hilfe von Korollar 22.10. Welche Verschärfung gilt dabei für die Parameter?