Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy,}$

1. im Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(1,0)}$,
2. im Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(2,5)}$,
3. im Punkt ${\displaystyle {}(1,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(1,0)}$,
4. im Punkt ${\displaystyle {}(1,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(0,1)}$,
5. im Punkt ${\displaystyle {}(2,3)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(-1,0)}$,
6. im Punkt ${\displaystyle {}(3,7)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(5,-4)}$.

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}},}$

1. im Punkt ${\displaystyle {}(0,1)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(1,0)}$,
2. im Punkt ${\displaystyle {}(0,1)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(0,1)}$,
3. im Punkt ${\displaystyle {}(1,3)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(2,4)}$,
4. im Punkt ${\displaystyle {}(-1,6)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(-3,-1)}$,
5. im Punkt ${\displaystyle {}\left(1,\,{\frac {1}{100}}\right)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(0,-1)}$.

Bestimme zur Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2},}$

die Richtungsableitung in Richtung ${\displaystyle {}3}$ für jeden Punkt.

Sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Funktion. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} }$ genau dann differenzierbar ist, wenn ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}P}$ in Richtung ${\displaystyle {}1}$ differenzierbar ist, und dass dann die Gleichheit

${\displaystyle {}{\left(D_{1}f\right)}{\left(P\right)}=f'(P)\,}$

gilt.

Bestimme die Richtungsableitung einer Abbildung in Richtung ${\displaystyle {}0}$.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorräume, ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ eine offene Teilmenge, und ${\displaystyle {}f\colon G\rightarrow W}$ eine Abbildung. Es sei ${\displaystyle {}P\in G}$ ein Punkt und ${\displaystyle {}v\in V}$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}P}$ in Richtung ${\displaystyle {}v}$ genau dann differenzierbar ist, wenn die (auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um ${\displaystyle {}0\in {\mathbb {K} }}$ definierte) Kurve

${\displaystyle g\colon I\longrightarrow W,\,t\longmapsto g(t)=f(P+tv),}$

differenzierbar ist, und dass in diesem Fall die Gleichheit

${\displaystyle {}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=g'(0)\,}$

gilt.

Bestimme, für welche Richtungen die Richtungsableitung im Nullpunkt zur Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\max {\left(x,y\right)}},}$

existieren.

Bestimme, für welche Punkte ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$ und welche Richtungen ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Richtungsableitung der euklidischen Norm

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}},}$

existiert.

Bestimme, für welche Punkte ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{2}}$ und welche Richtungen ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{2}}$ die Richtungsableitung der Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \vert {x+y}\vert ,}$

existiert.

Untersuche die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2},}$

im Nullpunkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ auf Richtungsableitungen. Man entscheide für jede Gerade ${\displaystyle {}G}$ durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung von ${\displaystyle {}f}$ auf ${\displaystyle {}G}$ im Nullpunkt ein Extremum besitzt.

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}\sin y-e^{x}y-x,}$

1. im Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(1,0)}$,
2. im Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(0,1)}$,
3. im Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(2,0)}$,
4. im Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(1,-3)}$,
5. im Punkt ${\displaystyle {}(1,1)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(1,1)}$,
6. im Punkt ${\displaystyle {}(1,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(-1,{\frac {1}{2}})}$,
7. im Punkt ${\displaystyle {}(5,7)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(1,0)}$,
8. im Punkt ${\displaystyle {}(1,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(5,7)}$.

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus {\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{3}=0\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {x^{2}-xy+y^{4}}{x^{2}+y^{3}}},}$

1. im Punkt ${\displaystyle {}(1,1)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(1,0)}$,
2. im Punkt ${\displaystyle {}(0,1)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(0,1)}$,
3. im Punkt ${\displaystyle {}(1,0)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(0,1)}$,
4. im Punkt ${\displaystyle {}(3,-2)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(2,-5)}$.

Bestimme die Richtungsableitungen der Funktion (${\displaystyle {}r_{i}\in \mathbb {N} }$)

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto x_{1}^{r_{1}}{\cdots }x_{n}^{r_{n}},}$

in einem Punkt

${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$

in Richtung

${\displaystyle v=(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

Zeige, unter Verwendung von Aufgabe 43.13, dass zu einer polynomialen Funktion

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

zu einer fixierten Richtung ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Richtungsableitung ${\displaystyle {}D_{v}\varphi }$ existiert und selbst polynomial ist.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorräume, sei ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ offen, ${\displaystyle {}P\in G}$ ein Punkt, ${\displaystyle {}v\in V}$ ein Vektor und sei

${\displaystyle f\colon G\longrightarrow W}$

eine Abbildung, die im Punkt ${\displaystyle {}P}$ in Richtung ${\displaystyle {}v}$ differenzierbar sei. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ auch in Richtung ${\displaystyle {}cv}$ mit ${\displaystyle {}c\in {\mathbb {K} }}$ differenzierbar ist und die Beziehung

${\displaystyle {}{\left(D_{cv}f\right)}{\left(P\right)}=c{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}\,}$

gilt.