Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y)\longmapsto {\left(x^{3}y-x^{2},x^{4}y^{2}-3xy^{3}+5y\right)}.}$

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto {\left(x^{2}yz^{3}-\sin x,\exp(x^{4}y)-2x^{2}z^{3}\cos(xy^{2}z)\right)}.}$

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\displaystyle {\left\{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}\mid y\neq 0\right\}}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}}.}$

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {\sin x}{x^{2}+y^{4}}},\,{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}},\,\ln(x^{2}+y^{2})\right),}$

in jedem Punkt.

Bestimme sämtliche höheren Richtungsableitungen der Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}-x^{3}y,}$

die sich mit den beiden Standardrichtungen ${\displaystyle {}(1,0)}$ und ${\displaystyle {}(0,1)}$ ausdrücken lassen.

Beschreibe die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto z^{2},}$

in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix. Ebenso für ${\displaystyle {}z^{3},z^{4},z^{5}}$.

Zeige, dass eine Polynomfunktion ${\displaystyle {}f\colon {\mathbb {K} }^{n}\rightarrow {\mathbb {K} }}$ beliebig oft stetig differenzierbar ist.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale, ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorräume ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ offen und

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow W}$

eine ${\displaystyle {}n}$-mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eine Auswahl von ${\displaystyle {}n}$ Vektoren aus ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass dann für jede Permutation ${\displaystyle {}\sigma \in S_{n}}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}\varphi )\ldots )=D_{v_{\sigma (n)}}(...D_{v_{\sigma (2)}}(D_{v_{\sigma (1)}}\varphi )\ldots )\,}$

gilt.

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(x,y,z)\longmapsto {\left(\sin xy,x^{2}y^{3}z^{4}-y\sinh z,xy^{2}z+5\right)}.}$

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto xy^{3}-x^{2}y^{2}-4y^{2}.}$

Berechne die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt ${\displaystyle {}(x,y)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(2,5)}$. Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor ${\displaystyle {}(2,5)}$ anwendet.

Zeige, dass keine partiell differenzierbare Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$

existiert, so dass

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=xy\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=y^{2}}$

für alle ${\displaystyle {}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ gilt.

Sei

${\displaystyle f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }}$

eine Polynomfunktion. Zeige, dass es ein ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} }$ derart gibt, dass sämtliche ${\displaystyle {}k}$-ten Richtungsableitungen ${\displaystyle {}0}$ sind.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, für die in jedem Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle {}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}\varphi (P)=0\,}$

gelte. Zeige, dass es dann Funktionen

${\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

derart gibt, dass

${\displaystyle {}\varphi (x,y)=f(x)+g(y)\,}$

gilt.

Zeige, dass die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,,\end{cases}}}$

zweimal partiell differenzierbar ist, und dass

${\displaystyle {}D_{1}D_{2}f(0,0)\neq D_{2}D_{1}f(0,0)\,}$

gilt.