Berechne das Integral

${\displaystyle \int _{Q}xy\,d\lambda ^{2}}$

${\displaystyle {}Q=[a,b]\times [c,d]}$

Es sei ${\displaystyle {}G}$ der Subgraph unterhalb der Standardparabel zwischen ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}3}$. Berechne das Integral

${\displaystyle \int _{G}x^{2}+xy-y^{3}\,d\lambda ^{2}.}$

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum. Zeige, dass die Menge der Nullmengen von ${\displaystyle {}M}$ ein Mengen-Präring ist.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum und es sei

${\displaystyle g\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$

eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass die Zuordnung

${\displaystyle {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \int _{T}g\,d\mu }$

ein Maß auf ${\displaystyle {}M}$ ist.

Welche Dichte besitzt das Borel-Lebesgue-Maß auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes?

Man gebe ein Beispiel für ein Maß auf ${\displaystyle {}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}$, das keine Dichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes besitzt.

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+\sin y,y+\cos x).}$

${\displaystyle {}\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert }$

${\displaystyle {}Q=[0,2\pi ]\times [0,2\pi ]}$

${\displaystyle {}\lambda ^{2}(\varphi (Q))}$

Es sei ${\displaystyle {}G}$ der Subgraph der Sinusfunktion zwischen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}\pi }$. Berechne die Integrale

a) ${\displaystyle {}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}}$,

b) ${\displaystyle {}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}}$.

Berechne das Integral zur Funktion ${\displaystyle {}f(x,y)=x(\sin x)(\cos \left(xy\right))}$ über dem Rechteck ${\displaystyle {}Q=[0,3\pi ]\times [0,1]}$.

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto {\frac {2uv}{(u^{2}+1)(v^{2}+v+1)}}.}$

Für welche Quadrate ${\displaystyle {}Q=[a,a+1]\times [b,b+1]}$ der Kantenlänge ${\displaystyle {}1}$ wird das Integral

${\displaystyle \int _{Q}f\,d\lambda ^{2}}$

maximal? Welchen Wert besitzt es?

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3}-y^{2},xy^{2}).}$

Berechne das Minimum und das Maximum von ${\displaystyle {}\vert {\det \left(D\varphi \right)_{P}}\vert }$ auf den beiden Quadraten ${\displaystyle {}Q_{1}=[0,1]\times [0,1]}$ und ${\displaystyle {}Q_{2}=[1,2]\times [1,2]}$. Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für ${\displaystyle {}\lambda ^{2}(\varphi (Q_{1}))}$ und für ${\displaystyle {}\lambda ^{2}(\varphi (Q_{2}))}$?

Wir betrachten das Bildmaß ${\displaystyle {}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{n}}$ zur Abbildung (${\displaystyle n\geq 1}$)

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}\mu }$ ein ${\displaystyle {}\sigma }$-endliches Maß auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ ist.

b) Zeige, dass ${\displaystyle {}\mu }$ bezüglich ${\displaystyle {}\lambda ^{1}}$ die Dichte

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}t<0\,,\\n\beta _{n}t^{n-1}{\text{ falls }}t\geq 0\,,\end{cases}}}$

${\displaystyle {}\beta _{n}}$

${\displaystyle {}n}$