Sei ${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow W}$ konstant mit ${\displaystyle {}\varphi (v)=w\in W}$ für alle ${\displaystyle {}v\in V}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ differenzierbar ist mit totalem Differential ${\displaystyle {}0}$.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorräume und ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ eine offene Teilmenge. Es sei ${\displaystyle {}\varphi \colon G\rightarrow W}$ im Punkt ${\displaystyle {}P\in G}$ differenzierbar mit dem Differential ${\displaystyle {}\left(D\varphi \right)_{P}}$. Zeige, dass für alle ${\displaystyle {}a\in {\mathbb {K} }}$ die Beziehung

${\displaystyle {}\left(D(a\varphi )\right)_{P}=a\left(D\varphi \right)_{P}\,}$

gilt.

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.

Sei ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein Intervall, ${\displaystyle {}W}$ ein reeller Vektorraum und

${\displaystyle \varphi \colon I\longrightarrow W}$

eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung

${\displaystyle {}{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(1\right)}=\varphi '(P)\,}$

besteht.

Berechne für die Addition

${\displaystyle +\colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x+y,}$

und für die Multiplikation

${\displaystyle \cdot \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,}$

das totale Differential.

Bestimme das totale Differential für die Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}.}$

Seien ${\displaystyle {}V}$, ${\displaystyle {}W_{1}}$ und ${\displaystyle {}W_{2}}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorräume.

1. Seien ${\displaystyle {}L_{1}\colon V\rightarrow W_{1}}$ und ${\displaystyle {}L_{2}\colon V\rightarrow W_{2}}$ ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-lineare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

   ${\displaystyle L_{1}\times L_{2}\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,v\longmapsto (L_{1}(v),L_{2}(v)),}$

   ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-linear ist.

2. Seien ${\displaystyle {}f_{1}\colon V\rightarrow W_{1}}$ und ${\displaystyle {}f_{2}\colon V\rightarrow W_{2}}$ im Punkt ${\displaystyle {}P\in V}$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

   ${\displaystyle f=(f_{1}\times f_{2})\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,Q\longmapsto (f_{1}(Q),f_{2}(Q)),}$

   im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential

   ${\displaystyle {}\left(Df\right)_{P}=\left(Df_{1}\right)_{P}\times \left(Df_{2}\right)_{P}\,.}$

Seien ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {N} }$. Bestimme das totale Differential für die Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{a}y^{b}.}$

Zeige, dass eine Polynomfunktion

${\displaystyle f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

in jedem Punkt total differenzierbar ist.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ zwei komplexe Vektorräume, ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ eine offene Teilmenge und

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow W}$

eine in ${\displaystyle {}P\in G}$ (komplex-)differenzierbare Abbildung.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ auch reell-differenzierbar ist, wenn man ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ als reelle Vektorräume auffasst.

b) Beschreibe das reelle Differential der Abbildung

${\displaystyle \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto z^{2},}$

in einem beliebigen Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {C} }$ bezüglich der reellen Basis ${\displaystyle {}1,i\in \mathbb {C} }$.

c) Man gebe ein Beispiel für eine Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,}$

die überall reell-differenzierbar ist, aber nirgendwo komplex-differenzierbar.

Seien ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}}$ differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})).}$

Seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ zwei endlichdimensionale ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorräume. Betrachte die Evaluationsabbildung

${\displaystyle \operatorname {Ev} \colon \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }(V,W)\times V\longrightarrow W,\,(L,v)\longmapsto L(v).}$

Es sei daran erinnert, dass der Homomorphismenraum ${\displaystyle {}\operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }(V,W)}$ ebenfalls ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorraum ist.

1. Ist die Evaluationsabbildung linear?
2. Bestimme die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt ${\displaystyle {}(L,v)}$ in Richtung ${\displaystyle {}(M,u)}$ mittels der Definition von totaler Differenzierbarkeit.

Sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorraum und ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${\displaystyle {}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }}$ zwei in ${\displaystyle {}P\in G}$ differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 44.5 auf das Diagramm

${\displaystyle G{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {\operatorname {mult} }{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }}$

${\displaystyle \left(D(f\cdot g)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(Df\right)_{P}+f(P)\cdot \left(Dg\right)_{P}}$