Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ zwei komplexe Vektorräume, ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ eine offene Teilmenge und

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow W}$

eine in ${\displaystyle {}P\in G}$ (komplex-)differenzierbare Abbildung.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ auch reell-differenzierbar ist, wenn man ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ als reelle Vektorräume auffasst.

b) Beschreibe das reelle Differential der Abbildung

${\displaystyle \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto z^{2},}$

in einem beliebigen Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {C} }$ bezüglich der reellen Basis ${\displaystyle {}1,i\in \mathbb {C} }$.

c) Man gebe ein Beispiel für eine Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,}$

die überall reell-differenzierbar ist, aber nirgendwo