Zeige die Gleichheit ${\displaystyle {}{\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R} }$.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eine Teilmenge. Zeige, dass

${\displaystyle {}{\overline {T}}=T\cup \operatorname {Rand} \,(T)\,}$

ist.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eine Teilmenge. Zeige, dass

${\displaystyle {\overline {T}}=\bigcap _{T\subseteq A,\,A{\text{ abgeschlossen}}}A}$

ist.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eine Teilmenge. Es sei ${\displaystyle {}T}$ zusammenhängend. Zeige, dass auch der Abschluss ${\displaystyle {}{\overline {T}}}$ zusammenhängend ist.

Zeige, dass der Grenzwert einer Funktion in einem Berührpunkt der Definitionsmenge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum, sei ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eine Teilmenge und sei ${\displaystyle {}a\in M}$ ein Berührpunkt von ${\displaystyle {}T}$. Es seien ${\displaystyle {}f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }}$ und ${\displaystyle {}g\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }}$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte ${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)}$ existieren. Zeige, dass die folgenden Beziehungen gelten.

1. Die Summe ${\displaystyle {}f+g}$ besitzt einen Grenzwert in ${\displaystyle {}a}$, und zwar ist

   ${\displaystyle \operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)+g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)+\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x).}$

2. Das Produkt ${\displaystyle {}f\cdot g}$ besitzt einen Grenzwert in ${\displaystyle {}a}$, und zwar ist

   ${\displaystyle \operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)\cdot g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)\cdot \operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x).}$

3. Es sei ${\displaystyle {}g(x)\neq 0}$ für alle ${\displaystyle {}x\in T}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\neq 0}$. Dann besitzt der Quotient ${\displaystyle {}f/g}$ einen Grenzwert in ${\displaystyle {}a}$, und zwar ist

   ${\displaystyle \operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)}{\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)}}.}$

Es sei

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

${\displaystyle {\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

von ${\displaystyle {}f}$ gibt.

Man gebe ein Beispiel einer gleichmäßig stetigen Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} }$

derart, dass keine stetige Fortsetzung

${\displaystyle {\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {Q} }$

existiert.

Sei ${\displaystyle {}b>0}$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die durch

${\displaystyle {}{\sqrt[{k}]{b}}=b^{1/k}\,}$

definierte Folge gegen ${\displaystyle {}1}$ konvergiert.

Es sei ${\displaystyle {}b}$ eine positive reelle Zahl und ${\displaystyle {}q=n/m\in \mathbb {Q} }$. Zeige, dass die durch

${\displaystyle {}b^{q}:={\left(b^{n}\right)}^{1/m}\,}$

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ${\displaystyle {}q}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}b}$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},}$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${\displaystyle {}b^{q+q'}=b^{q}\cdot b^{q'}}$ für alle ${\displaystyle {}q,q'\in \mathbb {Q} }$.
2. Es ist ${\displaystyle {}b^{-q}={\frac {1}{b^{q}}}}$.
3. Für ${\displaystyle {}b>1}$ und ${\displaystyle {}q>0}$ ist ${\displaystyle {}b^{q}>1}$.
4. Für ${\displaystyle {}b<1}$ und ${\displaystyle {}q>0}$ ist ${\displaystyle {}b^{q}<1}$.
5. Für ${\displaystyle {}b>1}$ ist ${\displaystyle {}f}$ streng wachsend.
6. Für ${\displaystyle {}b<1}$ ist ${\displaystyle {}f}$ streng fallend.
7. Es ist ${\displaystyle {}(b^{q})^{q'}=b^{q\cdot q'}}$ für alle ${\displaystyle {}q,q'\in \mathbb {Q} }$.
8. Für ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} _{+}}$ ist ${\displaystyle {}(ab)^{q}=a^{q}\cdot b^{q}}$.

Es sei ${\displaystyle {}b}$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},}$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${\displaystyle {}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}}$ für alle ${\displaystyle {}x,x'\in \mathbb {R} }$.
2. Es ist ${\displaystyle {}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}}$.
3. Für ${\displaystyle {}b>1}$ und ${\displaystyle {}x>0}$ ist ${\displaystyle {}b^{x}>1}$.
4. Für ${\displaystyle {}b<1}$ und ${\displaystyle {}x>0}$ ist ${\displaystyle {}b^{x}<1}$.
5. Für ${\displaystyle {}b>1}$ ist ${\displaystyle {}f}$ streng wachsend.
6. Für ${\displaystyle {}b<1}$ ist ${\displaystyle {}f}$ streng fallend.
7. Es ist ${\displaystyle {}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}}$ für alle ${\displaystyle {}x,x'\in \mathbb {R} }$.
8. Für ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} _{+}}$ ist ${\displaystyle {}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}}$.

Es sei ${\displaystyle {}b>0}$, ${\displaystyle {}b\neq 1}$. Definiere die reellen Logarithmen zur Basis ${\displaystyle {}b}$ als Umkehrfunktionen zu den reellen Exponentialfunktionen und formuliere deren wichtigste Eigenschaften.

Definiere für eine Folge in einem metrischen Raum den Begriff Cauchy-Folge. Was ist ein vollständiger metrischer Raum?

Sei

${\displaystyle T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}}$

mit der von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ induzierten Metrik, sei ${\displaystyle {}M}$ ein metrischer Raum, ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}x\in M}$. Zeige, dass die Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ genau dann gegen ${\displaystyle {}x}$ konvergiert, wenn die Abbildung

${\displaystyle T\longrightarrow M,\,{\frac {1}{n}}\longmapsto x_{n},\,0\longmapsto x,}$

stetig ist.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eine Teilmenge. Es sei

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow L}$

eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${\displaystyle {}L}$ und sei ${\displaystyle {}a\in T}$ ein Punkt, der ein Berührpunkt von ${\displaystyle {}T\setminus \{a\}}$ ist. Zeige, dass der Grenzwert

${\displaystyle \operatorname {lim} _{x\in T\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,f(x)}$

existiert.

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

${\displaystyle {\frac {2x^{3}+3x^{2}-1}{x^{3}-x^{2}+x+3}}}$

im Punkt ${\displaystyle {}a=-1}$.

Zeige, dass der euklidische Raum ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ vollständig ist.

Betrachte die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,}$

die durch

${\displaystyle f(x,y):={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}x\leq 0\,,\\0\,,{\text{ falls }}y\leq 0\,,\\y/x\,,{\text{ falls }}x\geq y>0\,,\\x/y\,,{\text{ falls }}y>x>0\,,\end{cases}}}$

definiert ist. Zeige, dass die Einschränkung von ${\displaystyle {}f}$ auf jeder zur ${\displaystyle {}x}$-Achse oder zur ${\displaystyle {}y}$-Achse parallelen Geraden stetig ist, dass aber ${\displaystyle {}f}$ selbst nicht stetig ist.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetige Funktion ${\displaystyle {}\neq 0}$, die die Gleichung

${\displaystyle {}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\,}$

für alle ${\displaystyle {}x,y\in \mathbb {R} }$ erfüllt. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein ${\displaystyle {}b>0}$ mit ${\displaystyle {}f(x)=b^{x}}$ gibt.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

stetig und additiv, d.h. es gelte ${\displaystyle {}\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)}$ für alle ${\displaystyle {}x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ dann ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-linear ist.