Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum, sei ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eine Teilmenge und sei ${\displaystyle {}a\in M}$ ein Berührpunkt von ${\displaystyle {}T}$. Es sei

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow L}$

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${\displaystyle {}L}$. Dann heißt ${\displaystyle {}b\in L}$ der Grenzwert (oder Limes ) von ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}a}$, wenn es für jedes ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ${\displaystyle {}x\in B\left(a,\delta \right)\cap T}$ ist ${\displaystyle {}f(x)\in B\left(b,\epsilon \right)}$. In diesem Fall schreibt man

${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.}$