Es sei ${\displaystyle {}b}$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},}$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${\displaystyle {}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}}$ für alle ${\displaystyle {}x,x'\in \mathbb {R} }$.
2. Es ist ${\displaystyle {}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}}$.
3. Für ${\displaystyle {}b>1}$ und ${\displaystyle {}x>0}$ ist ${\displaystyle {}b^{x}>1}$.
4. Für ${\displaystyle {}b<1}$ und ${\displaystyle {}x>0}$ ist ${\displaystyle {}b^{x}<1}$.
5. Für ${\displaystyle {}b>1}$ ist ${\displaystyle {}f}$ streng wachsend.
6. Für ${\displaystyle {}b<1}$ ist ${\displaystyle {}f}$ streng fallend.
7. Es ist ${\displaystyle {}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}}$ für alle ${\displaystyle {}x,x'\in \mathbb {R} }$.
8. Für ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} _{+}}$ ist ${\displaystyle {}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}}$.