Wir beweisen (1), die anderen Eigenschaften ergeben sich ähnlich, siehe Aufgabe. Es sei ${\displaystyle {}x_{n}}$ eine wachsende rationale Folge, die gegen ${\displaystyle {}x}$ konvergiert, und ${\displaystyle {}y_{n}}$ eine wachsende Folge, die gegen ${\displaystyle {}x'}$ konvergiert. Dann ist nach Fakt  (1) die Folge ${\displaystyle {}x_{n}+y_{n}}$ eine wachsende rationale Folge, die gegen ${\displaystyle {}x+x'}$ konvergiert. Somit ist unter Verwendung der rationalen Funktionalgleichung und von Fakt  (2)

${\displaystyle {}{\begin{aligned}b^{x+x'}&=\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}+y_{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(b^{x_{n}}\cdot b^{y_{n}}\right)}\\&={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{x_{n}}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }b^{y_{n}}\right)}\\&=b^{x}b^{x'}.\end{aligned}}}$