Es sei ${\displaystyle {}[a,b]}$ ein kompaktes Intervall und

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{i}y^{j}.}$

Wir setzen

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{a}^{b}x^{i}y^{j}dy.}$

Berechne ${\displaystyle {}\varphi '(x)}$ auf zwei unterschiedliche Weisen.

Bestätige Satz 58.3 für die Funktion

${\displaystyle f\colon [1,2]\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto e^{xt}.}$

Sei

${\displaystyle f(x,y)=x^{3}-yx^{2}+7\sin y.}$

Berechne die Integrale zum Parameter ${\displaystyle {}y\in [0,\pi ]}$ über ${\displaystyle {}x\in [0,1]}$ und zum Parameter ${\displaystyle {}x\in [0,1]}$ über ${\displaystyle {}y\in [0,\pi ]}$. Bestimme jeweils die extremalen Integrale.

Betrachte zu ${\displaystyle {}r,s\in \mathbb {R} _{+}}$ mit ${\displaystyle {}r+s>1}$ und ${\displaystyle {}s<r+1}$ die „sichelförmige“ Menge

${\displaystyle M_{r,s}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r,\,{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}\geq s\right\}}.}$

Für welche ${\displaystyle {}r,s}$ ist diese Menge sternförmig?

Zeige, dass eine sternförmige Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ zusammenhängend ist.

Es sei ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} }$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${\displaystyle {}T}$ genau dann ein (nichtleeres) Intervall ist, wenn ${\displaystyle {}T}$ sternförmig ist.

Es seien ${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{k}}$ (${\displaystyle k\geq 1}$) endlich viele Punkte im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\}}$ nicht sternförmig ist.

Man gebe ein Beispiel für eine sternförmige Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.

Man gebe ein Beispiel für eine offene, sternförmige Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.

Überprüfe, ob das Vektorfeld

${\displaystyle G\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {-2x^{2}+2y^{4}}{{\left(x^{2}+y^{4}\right)}^{2}}},\,{\frac {8xy^{3}}{{\left(x^{2}+y^{4}\right)}^{2}}}\right),}$

die Integrabilitätsbedingung erfüllt oder nicht.

Überprüfe, ob das Vektorfeld

${\displaystyle G\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {-2x^{2}+2y^{4}}{{\left(x^{3}+y^{3}\right)}^{2}}},\,{\frac {8xy^{3}}{{\left(x^{3}+y^{3}\right)}^{2}}}\right),}$

die Integrabilitätsbedingung erfüllt oder nicht.

Zeige, dass das Vektorfeld

${\displaystyle G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left(2x-y\cos x,\,-\sin x\right),}$

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.

Zu einem partiell differenzierbaren Vektorfeld

${\displaystyle G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ nennt man

${\displaystyle \operatorname {rot} _{}^{}{\left(G\right)}(P):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{2}}}(P)-{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{3}}}(P)\\{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{3}}}(P)-{\frac {\partial G_{3}}{\partial x_{1}}}(P)\\{\frac {\partial G_{2}}{\partial x_{1}}}(P)-{\frac {\partial G_{1}}{\partial x_{2}}}(P)\end{pmatrix}}}$

die Rotation von ${\displaystyle {}G}$.

Es sei

${\displaystyle G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ genau dann die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn ${\displaystyle {}\operatorname {rot} _{}^{}{\left(G\right)}=0}$ ist.

Berechne zum Vektorfeld

${\displaystyle G\colon {\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x,y,z\neq 0\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{3}-z^{2},\,{\frac {xy}{z}},\,{\frac {z}{x^{2}y}}\right)}$

die Rotation.

Wir betrachten das Vektorfeld

${\displaystyle G\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

mit

${\displaystyle {}G(x,y)=(y,-x^{3})\,}$

Zeige auf zweifache Weise, dass ${\displaystyle {}G}$ kein Gradientenfeld ist.

1. Mit der Integrabilitätsbedingung.
2. Mit Wegintegralen.

Wir betrachten das Vektorfeld

${\displaystyle G\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(y-\cos \left(x+z\right),\,x,\,2z-\cos \left(x+z\right)\right).}$

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ${\displaystyle {}G}$ ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu ${\displaystyle {}G}$.

Wir betrachten das Vektorfeld

${\displaystyle G\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{>0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(ye^{xy}+\ln z,\,xe^{xy}-2yz,\,{\frac {x}{z}}-y^{2}\right).}$

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ${\displaystyle {}G}$ ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu ${\displaystyle {}G}$.

Es sei

${\displaystyle F\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge

${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,}$

und es sei

${\displaystyle {}\rho (P):={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(P)\,.}$

Zeige

${\displaystyle {}\rho (P)={\frac {1}{\pi }}\cdot \operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\int _{\gamma _{\epsilon }}F\,,}$

wobei ${\displaystyle {}\gamma _{\epsilon }}$ den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um ${\displaystyle {}P}$ mit Radius ${\displaystyle {}\epsilon }$ bezeichnet.

Bestimme, ob zur Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},}$

der Subgraph und ob der Epigraph sternförmig ist.

Es sei ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine sternförmige Teilmenge. Zeige, dass auch der Abschluss ${\displaystyle {}{\overline {T}}}$ sternförmig ist.

Zeige, dass das Vektorfeld

${\displaystyle G\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(ye^{z}-3x^{2}z,\,xe^{z}+2yz,\,xye^{z}+y^{2}-x^{3}\right),}$

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.

Berechne zum Vektorfeld

${\displaystyle G\colon {\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x,y\neq 0,\,z>0\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left({\frac {e^{3x}-z}{y}},\,{\frac {\cos x}{z^{2}}},\,{\frac {\ln z}{xy}}\right)}$

die Rotation.