Sei

${\displaystyle f(x,y)=x^{3}-yx^{2}+7\sin y.}$

Berechne die Integrale zum Parameter ${\displaystyle {}y\in [0,\pi ]}$ über ${\displaystyle {}x\in [0,1]}$ und zum Parameter ${\displaystyle {}x\in [0,1]}$ über ${\displaystyle {}y\in [0,\pi ]}$. Bestimme jeweils die extremalen Integrale.

Es sei

${\displaystyle f\colon {]0,1]}\longrightarrow [0,\infty [}$

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

${\displaystyle f^{-1}\colon {[0,\infty [}\longrightarrow {]0,1]}.}$

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral ${\displaystyle {}\int _{0}^{1}f(t)\,dt}$ existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral ${\displaystyle {}\int _{0}^{\infty }f^{-1}(y)\,dy}$ existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

Es sei

${\displaystyle {}E={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\,,}$

(mit der von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ induzierten Metrik) und es seien (${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$)

${\displaystyle g,f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} }$

messbare Funktionen auf einem ${\displaystyle {}\sigma }$-endlichen Maßraum ${\displaystyle {}M}$. Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon E\times M\longrightarrow \mathbb {R} }$

mit

${\displaystyle {}f({\frac {1}{n}},x)=f_{n}(x)\,}$

und

${\displaystyle {}f(0,x)=g(x)\,.}$

Diskutiere den Satz von der majorisierten Konvergenz und Satz 71.1 in dieser Situation.

Es sei ${\displaystyle {}(M,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein endlicher Maßraum und ${\displaystyle {}A_{t}}$, ${\displaystyle {}t\in \mathbb {R} }$, eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen ${\displaystyle {}e_{A_{t}}}$. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x)=e_{A_{t}}(x).}$

Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),}$

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 71.1 sind erfüllt, welche nicht?

Es seien ${\displaystyle {}h\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {}g\colon [c,d]\rightarrow \mathbb {R} }$ differenzierbare Funktionen. Bestätige Satz 71.2 für

a) ${\displaystyle {}f(x,y)=g(x)+h(y)}$,

b) ${\displaystyle {}f(x,y)=g(x)\cdot h(y)}$.

Zeige, dass die dritte Bedingung in Korollar 71.3 äquivalent zur Existenz von nichtnegativen, integrierbaren Funktionen

${\displaystyle h_{i}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} }$

mit

${\displaystyle {}\Vert {{\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z,x)}\Vert \leq h_{i}(x)\,}$

ist.

Begründe die Additivität des Integrals mit Hilfe von Satz 71.5.

Es seien ${\displaystyle {}[a,b]}$ und ${\displaystyle {}[c,d]}$ kompakte Intervalle und es sei

${\displaystyle f\colon [a,b]\times [c,d]\longrightarrow \mathbb {R} ,}$

eine stetige Funktion. Zeige mit Hilfe von Satz 71.1, dass auch die Funktion

${\displaystyle [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{c}^{d}f(x,y)\,dy,}$

stetig ist.

Zeige, dass die Fakultätsfunktion ${\displaystyle {}\operatorname {Fak} \,(x)}$ beliebig oft differenzierbar ist mit den Ableitungen

${\displaystyle \operatorname {Fak} ^{(n)}\,(x)=\int _{0}^{\infty }(\ln t)^{n}t^{x}e^{-t}\,dt.}$