Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Norm zu einem Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ auf einem ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
2. Eine offene Menge in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.
3. Ein zusammenhängender metrischer Raum ${\displaystyle {}M}$.
4. Eine kompakte Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.
5. Eine Lösung zu einem Anfangswertproblem

   ${\displaystyle v'=f(t,v){\text{ und }}(t_{0},w)\in I\times U}$

   zu einem Vektorfeld

   ${\displaystyle f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

   auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

6. Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
7. Ein ${\displaystyle {}C^{k}}$-Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen ${\displaystyle {}U_{1}\subseteq V_{1}}$ und ${\displaystyle {}U_{2}\subseteq V_{2}}$ in euklidischen Vektorräumen ${\displaystyle {}V_{1},V_{2}}$.
8. Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale.
2. Der Satz über das Maximum von Funktionen auf kompakten Teilmengen.
3. Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
4. Die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen auf einer offenen Menge ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

a) Zeige, dass für ${\displaystyle {}x\geq 1}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}\int _{0}^{1}t^{x}e^{-t}\,dt\leq 1\,}$

gilt.

b) Zeige, dass die Funktion ${\displaystyle {}H(x)}$ mit

${\displaystyle H(x)=\int _{1}^{\infty }t^{x}e^{-t}\,dt}$

${\displaystyle {}x\geq 1}$

c) Zeige, dass ${\displaystyle {}10!\geq e^{11}+1}$ gilt.

d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für ${\displaystyle {}x\geq 10}$ die Abschätzung

${\displaystyle \operatorname {Fak} \,(x)\geq e^{x}}$

gilt.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln ${\displaystyle {}U{\left(x,\epsilon \right)}}$ offen sind.

Beweise die Aussage, dass eine Folge ${\displaystyle {}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{m}}$ (versehen mit der euklidischen Metrik) genau dann konvergiert, wenn sämtliche Komponentenfolgen konvergieren.

Die folgende Tabelle zeigt die Gastgeberländer und die Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1978 bis 2014.

Jahr	Gastgeber	Weltmeister
${\displaystyle {}1978}$	${\displaystyle {}{\text{Argentinien}}}$	${\displaystyle {}{\text{Argentinien}}}$
${\displaystyle {}1982}$	${\displaystyle {}{\text{Spanien}}}$	${\displaystyle {}{\text{Italien}}}$
${\displaystyle {}1986}$	${\displaystyle {}{\text{Mexiko}}}$	${\displaystyle {}{\text{Argentinien}}}$
${\displaystyle {}1990}$	${\displaystyle {}{\text{Italien}}}$	${\displaystyle {}{\text{Deutschland}}}$
${\displaystyle {}1994}$	${\displaystyle {}{\text{USA}}}$	${\displaystyle {}{\text{Brasilien}}}$
${\displaystyle {}1998}$	${\displaystyle {}{\text{Frankreich}}}$	${\displaystyle {}{\text{Frankreich}}}$
${\displaystyle {}2002}$	${\displaystyle {}{\text{Japan und Korea}}}$	${\displaystyle {}{\text{Brasilien}}}$
${\displaystyle {}2006}$	${\displaystyle {}{\text{Deutschland}}}$	${\displaystyle {}{\text{Italien}}}$
${\displaystyle {}2010}$	${\displaystyle {}{\text{Südafrika}}}$	${\displaystyle {}{\text{Spanien}}}$
${\displaystyle {}2014}$	${\displaystyle {}{\text{Brasilien}}}$	${\displaystyle {}{\text{Deutschland}}}$

Es sei ${\displaystyle {}L=\{A,B,D,F,I,JuK,M,S,SA,U\}}$ die Menge der Gastgeberländer und

${\displaystyle \varphi \colon L\longrightarrow L}$

die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf ${\displaystyle {}L}$ eine Metrik derart, dass ${\displaystyle {}L}$ zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass ${\displaystyle {}\varphi }$ eine starke Kontraktion ist?

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension ${\displaystyle {}\geq 2}$ und ${\displaystyle {}v,w\in V}$ Punkte mit

${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert =\Vert {w}\Vert \,.}$

Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\longrightarrow V,\,t\longmapsto \gamma (t),}$

mit ${\displaystyle {}\gamma (0)=v}$, ${\displaystyle {}\gamma (1)=w}$ und ${\displaystyle {}\Vert {\gamma (t)}\Vert =\Vert {v}\Vert }$ für alle ${\displaystyle {}t\in [0,1]}$ gibt.

Berechne das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }F}$ zum Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (y,x),}$

längs des Weges

${\displaystyle \gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,e^{t}).}$

Bestimme eine Lösungskurve der ortsunabhängigen Differentialgleichung

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {t}{1+t^{2}}}\\\tan t\end{pmatrix}}\,}$

auf ${\displaystyle {}]0,{\frac {\pi }{2}}[}$.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

${\displaystyle F\colon V\longrightarrow V}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei ${\displaystyle {}C=C^{\infty }(V,\mathbb {R} )}$ die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von ${\displaystyle {}V}$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \delta =\delta _{F}\colon C\longrightarrow C,\,g\longmapsto \delta (g),}$

mit

${\displaystyle {}(\delta (g))(P)={\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}\,.}$

Man erhält also aus der Funktion ${\displaystyle {}g}$ die neue Funktion ${\displaystyle {}\delta (g)}$, indem man an einem Punkt ${\displaystyle {}P\in V}$ die Richtungsableitung der Funktion ${\displaystyle {}g}$ in Richtung ${\displaystyle {}F(P)}$ berechnet.

1. Zeige

   ${\displaystyle {}\delta (gh):=g\delta (h)+h\delta (g)\,}$

   für ${\displaystyle {}g,h\in C}$.

2. Es sei ${\displaystyle {}h\in C}$ mit ${\displaystyle {}\delta (h)=0}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}h}$ auf allen (Bildern der) Lösungen zur Differentialgleichung ${\displaystyle {}y'=F(y)}$ konstant ist.

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x+y+z,xy+xz+yz,xyz).}$

Zeige, dass ein Punkt ${\displaystyle {}P=(x,y,z)}$ genau dann ein regulärer Punkt von ${\displaystyle {}F}$ ist, wenn die Koordinaten von ${\displaystyle {}P}$ paarweise verschieden (also ${\displaystyle {}x\neq y}$, ${\displaystyle {}x\neq z}$ und ${\displaystyle {}y\neq z}$) sind.

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=e^{x-y^{2}},}$

im Punkt ${\displaystyle {}(1,1)}$.

Untersuche die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+xy-6y^{2}-y,}$

auf kritische Punkte und Extrema.

Zeige, dass der Punkt ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}$ der einzige nichtreguläre Punkt der Faser zur Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{3}+z^{7}+xyz,}$

über ${\displaystyle {}0}$ ist.

Wir betrachten das Vektorfeld

${\displaystyle G\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{>0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(ye^{xy}+\ln z,\,xe^{xy}-2yz,\,{\frac {x}{z}}-y^{2}\right).}$

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ${\displaystyle {}G}$ ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu ${\displaystyle {}G}$.