Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Grenzwert einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),}$

   für ${\displaystyle {}x\rightarrow +\infty }$.

2. Die Fakultätsfunktion

   ${\displaystyle \mathbb {R} _{>-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \operatorname {Fak} \,x.}$

3. Die Stetigkeit einer Abbildung

   ${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}$

   zwischen metrischen Räumen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$ in einem Punkt ${\displaystyle {}x\in L}$.

4. Eine Cauchy-Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.
5. Ein Anfangswertproblem in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
6. Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
7. Eine Linearform auf einem ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$, wobei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper ist.
8. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

   ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$

   in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Stetigkeit einer Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},}$

   wobei ${\displaystyle {}M}$ einen metrischen Raum

   bezeichnet.
2. Der Satz über die Kompaktheit unter stetigen Abbildungen.
3. Der Satz über lokale Extrema unter Nebenbedingungen.
4. Der Eindeutigkeitssatz für die Lösung einer lokal Lipschitz-stetigen Differentialgleichung.

Es seien ${\displaystyle {}M,N\subseteq \mathbb {R} }$ Teilmengen und ${\displaystyle {}M\times N\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ihre Produktmenge.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}M\times N}$ genau dann offen in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ ist, wenn ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ offen sind.
2. Zeige, dass ${\displaystyle {}M\times N}$ genau dann abgeschlossen in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ ist, wenn ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ abgeschlossen sind.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein nichtleerer vollständiger metrischer Raum und es seien

${\displaystyle f,g\colon M\longrightarrow M}$

starke Kontraktionen.

a) Zeige, das die Verknüpfung ${\displaystyle {}g\circ f}$ ebenfalls eine starke Kontraktion ist.

b) Zeige durch ein Beispiel mit endlichem ${\displaystyle {}M}$, dass der Fixpunkt von ${\displaystyle {}g\circ f}$ weder mit dem Fixpunkt zu ${\displaystyle {}f}$ noch mit dem Fixpunkt zu ${\displaystyle {}g}$ übereinstimmen muss.

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

${\displaystyle f\colon [0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,\sin t).}$

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge ${\displaystyle {}L}$ dieser Kurve die Abschätzung

${\displaystyle {}L\leq {\sqrt {2}}\pi 3\,}$

gilt.

Skizziere den Graphen der Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \vert {x+y}\vert .}$

Es sei ein Vektorfeld der Form

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right){\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}},}$

mit einer stetigen Funktion

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right),}$

gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei ${\displaystyle {}r\in \mathbb {R} }$ und es sei

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung

${\displaystyle {}y'=-h(t,r\cos y(t),r\sin y(t))\,.}$

Zeige, dass

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}r\cos \left(g(t)\right)\\r\sin \left(g(t)\right)\end{pmatrix}},}$

eine Lösung der Differentialgleichung

${\displaystyle {}v'=F(t,v)\,}$

ist.

Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ offen und

${\displaystyle \varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {C} ^{m}}$

eine in ${\displaystyle {}P\in \mathbb {C} }$ total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ auch aufgefasst als Abbildung von ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{2n}}$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2m}}$ in ${\displaystyle {}P}$ total differenzierbar ist.

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle (x,y)\mapsto \varphi (x,y)=x^{y}.}$

1. Was ist der Definitionsbereich ${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ dieser Abbildung?
2. Berechne die Jacobi-Matrix von ${\displaystyle {}\varphi }$ in jedem Punkt ${\displaystyle {}P\in G}$.
3. Ist die Funktion total differenzierbar?

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen ${\displaystyle {}p,q,n}$ mit ${\displaystyle {}p+q\leq n}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,}$

deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ ${\displaystyle {}(p,q)}$ besitzt.

Untersuche die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto -3x^{2}+2xy-7y^{2}+x,}$

auf Extrema.

Es sei

${\displaystyle {}G={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x>y>0\right\}}\,.}$

Wie betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy,x^{y})=(u,v,w).}$

Zeige, dass sämtliche Bildpunkte der Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$ die Bedingung

${\displaystyle {}w^{2}2^{u}{\left(u+{\sqrt {u^{4}-4v}}\right)}^{\sqrt {u^{2}-4v}}={\left(u+{\sqrt {u^{2}-4v}}\right)}^{u}2^{\sqrt {u^{2}-4v}}\,}$

erfüllen.

Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ offen und

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige, dass die Menge der regulären Punkte von ${\displaystyle {}\varphi }$ offen ist.

Es sei

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetig differenzierbare Funktion.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}g}$ in einem Punkt ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} }$ genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion

${\displaystyle y\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y,}$

auf den Graphen

${\displaystyle {}\Gamma ={\left\{(x,y)\mid y=g(x)\right\}}\,}$

im Punkt ${\displaystyle {}(a,g(a))}$ ein lokales Maximum besitzt.

b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?

c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen

${\displaystyle f,h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$

und einem Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{2}}$ derart, dass ${\displaystyle {}\left(Df\right)_{P}}$ und ${\displaystyle {}\left(Dh\right)_{P}}$ linear abhängig sind und dass ${\displaystyle {}h}$ auf der Faser zu ${\displaystyle {}f}$ durch ${\displaystyle {}P}$ kein lokales Extremum besitzt.

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

${\displaystyle {}v'=\operatorname {Grad} \,h(v)\,}$

mit ${\displaystyle {}v(0)=w}$ (${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{2}}$) zum Gradientenfeld zur Funktion

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.}$