Man gebe für jedes ${\displaystyle {}n}$ ein Beispiel von zwei aus der Schule bekannten ebenen algebraischen Kurven, die sich in genau einem Punkt mit Schnittmultiplizität ${\displaystyle {}n}$ schneiden.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}0}$ und sei ${\displaystyle {}f\in K[X]}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$, und ${\displaystyle {}a\in K}$. Es sei ${\displaystyle {}C=V(Y-f)}$ der Graph zu ${\displaystyle {}f}$, aufgefasst als ebene algebraische Kurve. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${\displaystyle {}f}$ an der Stelle ${\displaystyle {}a}$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von ${\displaystyle {}f}$ an der Stelle ${\displaystyle {}a}$, also die maximale Ordnung einer formalen Ableitung mit ${\displaystyle {}f^{(k)}(a)=0}$.
2. Der Exponent des Linearfaktors ${\displaystyle {}X-a}$ in der Zerlegung von ${\displaystyle {}f}$.
3. Die Ordnung von ${\displaystyle {}f}$ an der Lokalisierung ${\displaystyle {}K[X]_{(X-a)}}$ von ${\displaystyle {}K[X]}$ am maximalen Ideal ${\displaystyle {}(X-a)}$.
4. Die Schnittmultiplizität von ${\displaystyle {}C}$ mit der ${\displaystyle {}x}$-Achse im Punkt ${\displaystyle {}(a,0)}$.

Es seien ${\displaystyle {}H_{1},H_{2}\in K[X]}$ verschiedene Polynome und ${\displaystyle {}C=V(Y-H_{1})}$ und ${\displaystyle {}D=V(Y-H_{2})}$ die zugehörigen Graphen, aufgefasst als ebene algebraische Kurven in ${\displaystyle {}{\mathbb {A} }_{K}^{2}}$. Es sei ${\displaystyle {}a\in K}$ ein Punkt mit

${\displaystyle {}H_{1}(a)=H_{2}(a)=:b\,.}$

Zeige, dass die Schnittmultiplizität von ${\displaystyle {}C}$ und ${\displaystyle {}D}$ im Punkt ${\displaystyle {}(a,b)}$ mit der Schnittmultiplizität des Graphen von ${\displaystyle {}H_{1}-H_{2}}$ und der ${\displaystyle {}X}$-Achse im Punkt ${\displaystyle {}(a,0)}$ übereinstimmt.

Es sei eine monomiale ebene Kurven ${\displaystyle {}C=V(X^{d}-Y^{e})}$ (mit ${\displaystyle {}d,e}$ teilerfremd) gegeben. Berechne die Schnittmultiplizität der Kurve mit einer jeden Geraden ${\displaystyle {}G}$ durch den Nullpunkt.

Zeige, dass sich die Schnittmultiplizität von ebenen Kurven nicht bei einer affinen Variablentransformation ändert.

Es sei ${\displaystyle {}P\in C}$ ein glatter Punkt einer ebenen Kurve ${\displaystyle {}C\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}}$ mit der Tangente ${\displaystyle {}G}$. Zeige, dass die Schnittmultiplizität von ${\displaystyle {}C}$ und ${\displaystyle {}G}$ im Punkt ${\displaystyle {}P}$ ${\displaystyle {}\geq 2}$ ist.

Berechne die Schnittmultiplizität der beiden monomialen Kurven

${\displaystyle C=V(X^{2}-Y^{3}){\text{ und }}D=V(X^{3}-Y^{2})}$

im Nullpunkt.

Bestimme die Schnittmultiplizität im Nullpunkt des Kartesischen Blattes

${\displaystyle {}C=V(X^{3}+Y^{3}-3XY)\,}$

mit jeder affinen Geraden der affinen Ebene. Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht ${\displaystyle {}3}$ ist.

Berechne die Schnittmultiplizität der beiden monomialen Kurven

${\displaystyle C=V(X^{5}-Y^{2}){\text{ und }}D=V(X^{7}-Y^{3})}$

im Nullpunkt.

Sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und seien ${\displaystyle {}C=V(F)}$ und ${\displaystyle {}D=V(G)}$ ebene algebraische Kurven. Es sei ${\displaystyle {}P\in C}$ ein glatter Punkt, so dass der lokale Ring ${\displaystyle {}R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)}$ ein diskreter Bewertungsring ist. Zeige, dass die Beziehung

${\displaystyle {}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\operatorname {ord} \,(G)\,}$

gilt, wobei ${\displaystyle {}\operatorname {ord} \,}$ die Ordnung im Bewertungsring ${\displaystyle {}R}$ bezeichnet.

Betrachte die Parabel ${\displaystyle {}C=V(Y-X^{2})}$ und den Kreis ${\displaystyle {}D}$ mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}(0,r)}$ und Radius ${\displaystyle {}r}$. Bestimme die Schnittpunkte von ${\displaystyle {}C}$ und ${\displaystyle {}D}$ und die jeweiligen Schnittmultiplizitäten.

Bestimme für den Restklassenring ${\displaystyle {}\mathbb {C} [X,Y]/(XY-1,X^{2}+Y^{2}-a)}$ (für jedes ${\displaystyle {}a\in \mathbb {C} }$) eine Beschreibung als Produktring von lokalen Ringen. Man gebe dabei die ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$-Dimensionen der beteiligten Ringe an.

Es seien zwei verschiedene monomiale ebene Kurven ${\displaystyle {}C=V(X^{d}-Y^{e})}$ und ${\displaystyle {}D=V(X^{r}-Y^{s})}$ gegeben (mit ${\displaystyle {}d,e}$ und ${\displaystyle {}r,s}$ teilerfremd). Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt.