Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}0}$ und sei ${\displaystyle {}f\in K[X]}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$, und ${\displaystyle {}a\in K}$. Es sei ${\displaystyle {}C=V(Y-f)}$ der Graph zu ${\displaystyle {}f}$, aufgefasst als ebene algebraische Kurve. Zeige, dass die folgenden „Ordnungen“ von ${\displaystyle {}f}$ an der Stelle ${\displaystyle {}a}$ übereinstimmen.

1. Die Verschwindungsordnung von ${\displaystyle {}f}$ an der Stelle ${\displaystyle {}a}$, also die maximale Ordnung einer formalen Ableitung mit ${\displaystyle {}f^{(k)}(a)=0}$.
2. Der Exponent des Linearfaktors ${\displaystyle {}X-a}$ in der Zerlegung von ${\displaystyle {}f}$.
3. Die Ordnung von ${\displaystyle {}f}$ an der Lokalisierung ${\displaystyle {}K[X]_{(X-a)}}$ von ${\displaystyle {}K[X]}$ am maximalen Ideal ${\displaystyle {}(X-a)}$.
4. Die Schnittmultiplizität von ${\displaystyle {}C}$ mit der ${\displaystyle {}x}$-Achse im Punkt ${\displaystyle {}(a,0)}$.