Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Radikal zu einem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Ein Kegelschnitt.
3. Die Lokalisierung eines kommutativen Ringes ${\displaystyle {}R}$ an einem Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$.
4. Die Normalisierung zu einem kommutativen Monoid ${\displaystyle {}M}$.
5. Die Homogenisierung zu einem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$.
6. Eine projektive Varietät.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Stetigkeit der Spektrumsabbildung.
2. Der Satz über die universelle Eigenschaft der Monoidringe.
3. Der Satz über die Glattheit und Normalität einer ebenen Kurve.

1. Ist das Bild der Funktion

   ${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(e^{t},\,e^{t}\right),}$

   eine algebraische Kurve?

2. Ist das Bild der Funktion

   ${\displaystyle \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ^{2},\,z\longmapsto \left(e^{z},\,e^{z}\right),}$

   eine algebraische Kurve?

3. Ist das Bild der Funktion

   ${\displaystyle \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ^{2},\,z\longmapsto \left(e^{z},\,e^{z}\right),}$

   „isomorph“ zu einer algebraischen Kurve?

Bestimme die ${\displaystyle {}x}$-Koordinaten der Schnittpunkte von ${\displaystyle {}V(X^{2}+Y^{2}-1)}$ und ${\displaystyle {}V(Y-2X^{2}+2)}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}}$.

Beweise den Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$.

Es seien ${\displaystyle {}R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}}$ kommutative Ringe und sei

${\displaystyle {}R=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}\,}$

der Produktring.

1. Es seien

   ${\displaystyle I_{1}\subseteq R_{1},I_{2}\subseteq R_{2},\ldots ,I_{n}\subseteq R_{n}}$

   Ideale. Zeige, dass die Produktmenge

   ${\displaystyle I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$

   ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$ ist.

2. Zeige, dass jedes Ideal ${\displaystyle {}I\subseteq R}$ die Form

   ${\displaystyle {}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,}$

   mit Idealen ${\displaystyle {}I_{j}\subseteq R_{j}}$ besitzt.

3. Sei

   ${\displaystyle {}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,}$

   ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}I}$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche ${\displaystyle {}I_{j}}$ Hauptideale sind.

4. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle ${\displaystyle {}R_{j}}$ Hauptidealringe sind.

Es sei ${\displaystyle {}C\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ das Bild der Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (t,t^{2},t^{3})=(x,y,z).}$

Skizziere die Bilder von ${\displaystyle {}C}$ unter den Projektionen auf die verschiedenen Koordinatenebenen.

Man gebe ein Beispiel für einen injektiven Monoidhomomorphismus ${\displaystyle {}M\rightarrow N}$ zwischen kommutativen Monoiden derart an, dass die zugehörige Spektrumsabbildung nicht surjektiv ist.

Ist die ebene projektive Kurve ${\displaystyle {}V_{+}{\left(X^{4}+Z^{3}Y+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}}$ isomorph zum projektiven Abschluss einer monomialen Kurve?

Es sei ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}R}$-Algebra über einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$. Zu ${\displaystyle {}f\in A}$ bezeichne

${\displaystyle \mu _{f}\colon A\longrightarrow A,\,x\longmapsto fx,}$

die ${\displaystyle {}R}$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei ${\displaystyle {}R}$-linearen Abbildungen

${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\colon A\longrightarrow A}$

bezeichne

${\displaystyle {}[\varphi _{1},\varphi _{2}]=\varphi _{1}\circ \varphi _{2}-\varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}\delta \colon A\rightarrow A}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Derivation. Zeige, dass zu jedem ${\displaystyle {}g\in A}$ die Abbildung ${\displaystyle {}[\delta ,\mu _{g}]}$ eine Multiplikationsabbildung ist.

Betrachte die affine Nullstellenmenge

${\displaystyle {}V:=V{\left(X^{2}+Y^{2}+1\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,}$

über dem Körper ${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(2)}$ mit zwei Elementen.

1. Bestimme die Punkte von ${\displaystyle {}V}$.
2. Bestimme den projektiven Abschluss von ${\displaystyle {}V}$.
3. Zeige, dass der projektive Abschluss von ${\displaystyle {}V}$ nicht mit der projektiven Nullstellenmenge zur Homogenisierung von ${\displaystyle {}X^{2}+Y^{2}+1}$ übereinstimmt.

Beweise den Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.