Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{n},}$

 für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {C} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{n},}$

 für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {Z} }$.

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{\frac {1}{n}},}$

 für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$.

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{q},}$

 für jedes ${\displaystyle {}q\in \mathbb {Q} }$.

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x+3,}$

in einem beliebigen Punkt ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} }$.

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+1.}$

Bestimme die Tangenten an ${\displaystyle {}f}$, die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,}$

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel

${\displaystyle {}{\left(f^{2}\right)}'=2f\cdot f'\,}$

mit Hilfe von

${\displaystyle {}fg={\frac {1}{4}}{\left((f+g)^{2}-(f-g)^{2}\right)}\,.}$

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {C} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+1}{x^{3}}}.}$

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.

Es sei ${\displaystyle {}f(x)=x^{3}+4x^{2}-1}$ und ${\displaystyle {}g(y)=y^{2}-y+2}$. Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung ${\displaystyle {}h(x)=g(f(x))}$ direkt und mittels der Kettenregel.

Es sei ${\displaystyle {}f(x)={\frac {x^{2}-1}{x}}}$ und ${\displaystyle {}g(y)={\frac {y^{2}}{y-1}}}$.

a) Bestimme die Ableitung von ${\displaystyle {}f}$ und von ${\displaystyle {}g}$.

b) Berechne die Hintereinanderschaltung ${\displaystyle {}h(x)=g(f(x))}$.

c) Bestimme die Ableitung von ${\displaystyle {}h}$ mit Hilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von ${\displaystyle {}h}$ mittels der Kettenregel.

Es sei ${\displaystyle {}f(x)={\frac {x^{2}+5x-2}{x+1}}}$ und ${\displaystyle {}g(y)={\frac {y-2}{y^{2}+3}}}$. Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung ${\displaystyle {}h(x)=g(f(x))}$ direkt und mittels der Kettenregel.

Zeige, dass ein Polynom ${\displaystyle {}P\in \mathbb {C} [X]}$ genau dann einen Grad ${\displaystyle {}\leq d}$ besitzt (oder ${\displaystyle {}P=0}$ ist), wenn die ${\displaystyle {}(d+1)}$-te Ableitung von ${\displaystyle {}P}$ das Nullpolynom ist.

Es seien

${\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

zwei differenzierbare Funktionen und sei

${\displaystyle h(x)=(g(f(x)))^{2}f(g(x)).}$

a) Drücke die Ableitung ${\displaystyle {}h'}$ mit den Ableitungen von ${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}g}$ aus.

b) Sei nun

${\displaystyle f(x)=x^{2}-1{\text{ und }}g(x)=x+2.}$

Berechne ${\displaystyle {}h'(x)}$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über ${\displaystyle {}h(x)}$ und andererseits über die Formel aus Teil ${\displaystyle {}a)}$.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die ${\displaystyle {}n}$-fache Hintereinanderschaltung (${\displaystyle n\geq 1}$)

${\displaystyle f^{\circ n}=f\circ f\circ \cdots \circ f\,\,\,(n{\text{ mal}})}$

die Beziehung

${\displaystyle {}{\left(f^{\circ n}\right)}'=f'\cdot \prod _{i=1}^{n-1}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)}\,}$

gilt.

Zeige, dass die Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x\vert {x}\vert ,}$

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.

Die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{<1}\longrightarrow \mathbb {R} }$

sei für negatives ${\displaystyle {}x}$ konstant gleich ${\displaystyle {}0}$ und folge für ${\displaystyle {}x\in [0,1[}$ dem unteren rechten Viertelkreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}(0,1)}$ und Radius ${\displaystyle {}1}$. Bestimme den Grad der Differenzierbarkeit dieser Funktion.

Es sei ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ und seien

${\displaystyle f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

zwei ${\displaystyle {}n}$-mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

${\displaystyle {}(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\,}$

gilt.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto f(z),}$

ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}d\geq 2}$ und ${\displaystyle {}t(z)}$ die Tangente an ${\displaystyle {}f}$ im Punkt ${\displaystyle {}0}$. Zeige die Beziehung

${\displaystyle {}f(z)-t(z)=z^{2}g(z)\,}$

mit einem Polynom ${\displaystyle {}g(z)}$ vom Grad ${\displaystyle {}d-2}$.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto f(z),}$

ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}d\geq 2}$, ${\displaystyle {}w\in \mathbb {C} }$ ein Punkt und ${\displaystyle {}t(z)}$ die Tangente an ${\displaystyle {}f}$ im Punkt ${\displaystyle {}w}$. Zeige die Beziehung

${\displaystyle {}f(z)-t(z)=(z-w)^{2}g(z)\,}$

mit einem Polynom ${\displaystyle {}g(z)}$ vom Grad ${\displaystyle {}d-2}$.

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon D\longrightarrow \mathbb {C} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+x-1}{x^{3}-x+2}},}$

wobei ${\displaystyle {}D}$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.

Bestimme, ob die komplexe Konjugation

${\displaystyle \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto {\overline {z}},}$

differenzierbar ist oder nicht.

Sei ${\displaystyle {}D\subseteq {\mathbb {K} }}$ offen und seien

${\displaystyle f_{i}\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,i=1,\ldots ,n,}$

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel

${\displaystyle (f_{1}{\cdots }f_{n})'=\sum _{i=1}^{n}f_{1}{\cdots }f_{i-1}f_{i}'f_{i+1}{\cdots }f_{n}.}$

Es sei ${\displaystyle {}P\in \mathbb {C} [X]}$ ein Polynom, ${\displaystyle {}a\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$. Zeige, dass ${\displaystyle {}P}$ genau dann ein Vielfaches von ${\displaystyle {}(X-a)^{n}}$ ist, wenn ${\displaystyle {}a}$ eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ${\displaystyle {}P,P^{\prime },P^{\prime \prime },\ldots ,P^{(n-1)}}$ ist.

Es sei

${\displaystyle F\colon D\longrightarrow \mathbb {C} }$

eine rationale Funktion. Zeige, dass ${\displaystyle {}F}$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit ${\displaystyle {}F^{(n)}=0}$ gibt.