Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ und es seien ${\displaystyle {}L,L_{1},\ldots ,L_{m}}$ Linearformen auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass die Beziehung

${\displaystyle {}\bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}\subseteq \operatorname {kern} L\,}$

genau dann gilt, wenn ${\displaystyle {}L}$ zu dem von den ${\displaystyle {}L_{1},\ldots ,L_{m}}$ erzeugten Untervektorraum (im Dualraum) gehört.

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${\displaystyle {}h(x,y)=5x+3y\,}$

auf der Ellipse

${\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 2x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.}$

Für welche Punkte ${\displaystyle {}(t,t^{2})}$ der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt ${\displaystyle {}(0,1)}$ minimal?

Bestimme sämtliche Tangenten an die Hyperbel

${\displaystyle {\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=1\right\}}.}$

Zeige, dass durch

${\displaystyle [0,2\pi [\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(\cos ^{3}t,\,\sin ^{3}t\right),}$

eine bijektive Parametrisierung der Standardastroide

${\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,}$

gegeben ist.

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${\displaystyle {}h(x,y)=x\,}$

auf der Standardastroide

${\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,.}$

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${\displaystyle {}h(x,y)=x\,}$

auf der Standardastroide

${\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,}$

unter Verwendung der durch ${\displaystyle {}(x,y)=\left(\cos ^{3}t,\,\sin ^{3}t\right)}$ gegebenen Parametrisierung (siehe Aufgabe 54.5) von ${\displaystyle {}M}$.

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

${\displaystyle {}h(x,y,z)=3x+4y+2z\,}$

auf dem Ellipsoid

${\displaystyle {}M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+3z^{2}=4\right\}}\,.}$

Bestimme sämtliche Tangenten an die Astroide

${\displaystyle {\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}.}$

Wir betrachten im Einheitswürfel ${\displaystyle {}E=[-1,1]^{3}\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ eingeschriebene Vierecke mit den Eckpunkten (${\displaystyle -1\leq a,b\leq 1}$)

${\displaystyle (1,a,-1),\,(b,1,-1),\,(-1,-a,1),\,(-b,-1,1).}$

1. Zeige, dass die vier Punkte in einer Ebene liegen.
2. Unter welcher Bedingung an ${\displaystyle {}a,b}$ handelt es sich um ein Quadrat?
3. Für welche ${\displaystyle {}a,b}$ erhält man ein Quadrat mit maximalem Flächeninhalt?

Es seien

${\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$

stetig differenzierbare Funktionen derart, dass die Nullfasern ${\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} \mid f(x,y)=0\right\}}}$ und ${\displaystyle {}N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} \mid g(x,y)=0\right\}}}$ disjunkt sind und beide nur reguläre Punkte besitzen. Es sei

${\displaystyle (P,Q)\in M\times N\subseteq \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$

ein Punktepaar, für das der Abstand zwischen solchen Punkten minimal wird. Zeige, dass die zugehörigen Tangenten parallel sind.