Formuliere und beweise den „Satz über die surjektive Abbildung“.

Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum und sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle {}M}$, die gegen ${\displaystyle {}x\in M}$ konvergiert. Es sei ${\displaystyle {}T}$ eine Menge und es seien

${\displaystyle f_{n}\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f_{n}(t)=x_{n},}$

die zu ${\displaystyle {}x_{n}}$ gehörenden konstanten Funktionen. Zeige, dass die Funktionenfolge ${\displaystyle {}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ gleichmäßig gegen die konstante Funktion

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f(t)=x,}$

konvergiert.

Es sei ${\displaystyle {}T}$ eine endliche Menge und

${\displaystyle f_{n}\colon T\longrightarrow X}$

eine Abbildungsfolge in einen metrischen Raum ${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass diese Folge genau dann punktweise konvergiert, wenn sie gleichmäßig konvergiert.

Sei ${\displaystyle {}(Y,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle {}T\subseteq Y}$ eine Teilmenge. Es sei ${\displaystyle {}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\overline {T}}}$ und

${\displaystyle g_{n}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }}$

eine Folge von stetigen Funktionen. Zeige, dass diese Folge genau dann gleichmäßig konvergiert, wenn die auf ${\displaystyle {}T}$ eingeschränkte Folge ${\displaystyle {}f_{n}=g_{n}{|}_{T}}$ gleichmäßig konvergiert.

Sei ${\displaystyle {}T}$ eine Menge und ${\displaystyle {}E}$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei ${\displaystyle {}M=\operatorname {Abb} \,(T,E)}$ versehen mit der Supremumsnorm. Beweise die folgenden Eigenschaften für diese „Norm“ (dabei ist der Wert ${\displaystyle {}\infty }$ erlaubt und sinnvoll zu interpretieren).

1. ${\displaystyle {}\Vert {f}\Vert \geq 0}$ für alle ${\displaystyle {}f\in M}$.
2. ${\displaystyle {}\Vert {f}\Vert =0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}f=0}$ ist.
3. Für ${\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {}f\in M}$ gilt

   ${\displaystyle \Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert .}$

4. Für ${\displaystyle {}g,f\in M}$ gilt

   ${\displaystyle \Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert .}$

Es sei

${\displaystyle C=C^{0}([0,1],\mathbb {R} )}$

die Menge der stetigen Funktionen, die mit der Supremumsnorm versehen sei. Skizziere zu ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ die offene und die abgeschlossene ${\displaystyle {}\epsilon }$-Umgebung von einem ${\displaystyle {}f\in C}$.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorraum. Eine Abbildung

${\displaystyle \Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,}$

heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle ${\displaystyle {}v,w\in V}$ gelten.

1. ${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert \geq 0}$.
2. ${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert =0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}v=0}$ ist.
3. Für ${\displaystyle {}\lambda \in {\mathbb {K} }}$ und ${\displaystyle {}v\in V}$ gilt

   ${\displaystyle {}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.}$

4. Für ${\displaystyle {}v,w\in V}$ gilt

   ${\displaystyle {}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.}$

Es sei ${\displaystyle {}T}$ eine Menge und ${\displaystyle {}E}$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei

${\displaystyle {}M={\left\{f:T\rightarrow E\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,}$

die Menge der beschränkten Abbildungen von ${\displaystyle {}T}$ nach ${\displaystyle {}E}$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf ${\displaystyle {}M}$ eine Norm ist.

Zeige, dass ein normierter ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-Vektorraum durch

${\displaystyle {}d(u,v):=\Vert {u-v}\Vert \,}$

zu einem metrischen Raum wird.

Es sei ${\displaystyle {}T}$ eine Menge, ${\displaystyle {}E}$ ein euklidischer Vektorraum und

${\displaystyle {}M={\left\{f:T\rightarrow E\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,}$

die Menge der beschränkten Abbildungen von ${\displaystyle {}T}$ nach ${\displaystyle {}E}$. Zeige, dass eine Folge ${\displaystyle {}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ aus ${\displaystyle {}M}$ genau dann gegen ${\displaystyle {}f\in M}$ gleichmäßig konvergiert, wenn diese Folge im durch die Supremumsnorm gegebenen metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$ konvergiert.

Es sei

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

eine reguläre Kurve. Zeige, dass die Faser über jedem Punkt ${\displaystyle {}c\in \mathbb {R} ^{n}}$ endlich ist.

Sei ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine kompakte Teilmenge und ${\displaystyle {}E}$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei ${\displaystyle {}C=C^{0}(T,E)}$ der Raum der stetigen Abbildungen von ${\displaystyle {}T}$ nach ${\displaystyle {}E}$, versehen mit der Supremumsnorm. Es seien ${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{n}\in T}$ und ${\displaystyle {}y_{1},\ldots ,y_{n}\in E}$ Punkte. Zeige, dass die Teilmenge

${\displaystyle {\left\{f\in C\mid f(x_{1})=y_{1},\ldots ,f(x_{n})=y_{n}\right\}}}$

abgeschlossen in ${\displaystyle {}C}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}M_{k}=({(a_{ij}})_{k})_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}}$ eine Folge von reellen ${\displaystyle {}m\times n}$-Matrizen und

${\displaystyle \varphi _{k}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige, dass die Folgen der Einträge ${\displaystyle {}({a_{ij}})_{k}}$ für alle ${\displaystyle {}i,j}$ genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen punktweise konvergiert.