Sei ${\displaystyle {}(M,d)}$ ein metrischer Raum und sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle {}M}$, die gegen ${\displaystyle {}x\in M}$ konvergiert. Es sei ${\displaystyle {}T}$ eine Menge und es seien

${\displaystyle f_{n}\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f_{n}(t)=x_{n},}$

die zu ${\displaystyle {}x_{n}}$ gehörenden konstanten Funktionen. Zeige, dass die Funktionenfolge ${\displaystyle {}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ gleichmäßig gegen die konstante Funktion

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f(t)=x,}$