Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorraum. Eine Abbildung

${\displaystyle \Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,}$

heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle ${\displaystyle {}v,w\in V}$ gelten.

1. ${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert \geq 0}$.
2. ${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert =0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}v=0}$ ist.
3. Für ${\displaystyle {}\lambda \in {\mathbb {K} }}$ und ${\displaystyle {}v\in V}$ gilt

   ${\displaystyle {}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.}$

4. Für ${\displaystyle {}v,w\in V}$ gilt

   ${\displaystyle {}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.}$