Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine injektive Abbildung

   ${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M.}$

2. Eine Cauchy-Folge in ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$.
3. Die Supremumsnorm einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} }$

   auf einer Menge ${\displaystyle {}T}$.

4. Der natürliche Logarithmus

   ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .}$

5. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion

   ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .}$

6. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   ${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .}$

7. Die Lösung eines Anfangswertproblems

   ${\displaystyle y'=f(t,y){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0},}$

   zu einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} .}$

8. Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$.
2. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
3. Der Satz über die stetige Umkehrfunktion.
4. Riemann Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt/Name

Es seien

${\displaystyle f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

${\displaystyle {}{\left(h\cdot g\right)}\circ f={\left(h\circ f\right)}\cdot {\left(g\circ f\right)}\,.}$

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

${\displaystyle {}{\left(h\circ g\right)}\cdot f={\left(h\cdot f\right)}\circ {\left(g\cdot f\right)}\,}$

nicht gelten muss.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein angeordneter Körper. Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass ${\displaystyle {}1>0}$ gilt.

Berechne die Summe

${\displaystyle \sum _{n=3}^{\infty }{\left({\frac {2}{5}}\right)}^{n}.}$

Beweise den Satz über das angenommene Maximum einer Funktion

${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .}$

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel

${\displaystyle {}{\left(f^{2}\right)}'=2f\cdot f'\,}$

mit Hilfe von

${\displaystyle {}fg={\frac {1}{4}}{\left((f+g)^{2}-(f-g)^{2}\right)}\,.}$

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {\ln {\left(2x^{2}\right)}}{7^{x}}}.}$

Wir betrachten eine Funktion ${\displaystyle {}f\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ der Form

${\displaystyle {}f(x)=g(x)\sin x+h(x)\cos x\,,}$

wobei ${\displaystyle {}g}$ und ${\displaystyle {}h}$ lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen (${\displaystyle n\geq 0}$) die Beziehung

${\displaystyle {}f^{(n)}(x)={\begin{cases}(-1)^{n/2}{\left({\left(g(x)+nh'(x)\right)}\sin x+{\left(-ng'(x)+h(x)\right)}\cos x\right)}{\text{ für }}\ n{\text{ gerade}},\\(-1)^{(n-1)/2}{\left({\left(ng'(x)-h(x)\right)}\sin x+{\left(g(x)+nh'(x)\right)}\cos x\right)}{\text{ für }}\ n{\text{ ungerade}},\end{cases}}\,}$

gilt.

Zeige, dass die Funktion ${\displaystyle {}f(x)=x+\sin x}$ streng wachsend ist.

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=t^{2}e^{-t}.}$

Zeige, dass für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}\leq \ln 2\,}$

gilt. Tipp: Betrachte die Funktion ${\displaystyle {}f(x)={\frac {1}{x}}}$ auf dem Intervall ${\displaystyle {}]0,1]}$.

Es sei

${\displaystyle {}f(x)={\frac {x^{3}+7x^{2}-5x+4}{x^{2}-3}}\,.}$

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von ${\displaystyle {}f(x)}$.

b) Bestimme eine Stammfunktion von ${\displaystyle {}f(x)}$.

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${\displaystyle y'={\frac {t^{2}}{y}},\,y>0,\,t>0,}$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.

b) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

${\displaystyle y'={\frac {t^{2}}{y}}{\text{ mit }}y(4)=5.}$