Wir betrachten eine Funktion ${\displaystyle {}f\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ der Form

${\displaystyle {}f(x)=g(x)\sin x+h(x)\cos x\,,}$

wobei ${\displaystyle {}g}$ und ${\displaystyle {}h}$ lineare Polynome seien. Zeige durch Induktion, dass für die Ableitungen (${\displaystyle n\geq 0}$) die Beziehung

${\displaystyle {}f^{(n)}(x)={\begin{cases}(-1)^{n/2}{\left({\left(g(x)+nh'(x)\right)}\sin x+{\left(-ng'(x)+h(x)\right)}\cos x\right)}{\text{ für }}\ n{\text{ gerade}},\\(-1)^{(n-1)/2}{\left({\left(ng'(x)-h(x)\right)}\sin x+{\left(g(x)+nh'(x)\right)}\cos x\right)}{\text{ für }}\ n{\text{ ungerade}},\end{cases}}\,}$