Bestimme eine Basis des Untervektorraums ${\displaystyle {}U=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x=z\}\subset \mathbb {R} ^{3}\,}$.

Sind die reellen Zahlen ${\displaystyle {}1,\,{\sqrt {2}},\,{\sqrt {3}}}$ linear unabhängig über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ?

Sei ${\displaystyle {}A={\begin{pmatrix}3&1&5\\-1&0&2\end{pmatrix}}}$ und

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto A\cdot x}$

die zugehörige lineare Abbildung.

1. Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von ${\displaystyle {}\operatorname {Kern} (f)\,}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {Bild} (f)\,}$.
2. Finde einen Untervektorraum ${\displaystyle {}V\subset \mathbb {R} ^{3}}$ derart, dass ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}=V\oplus \operatorname {Kern} (f)\,}$ gilt.
3. Gibt es auch einen Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subset \mathbb {R} ^{2}}$, ${\displaystyle {}U\neq \{0\}}$, mit ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}=U\oplus \operatorname {Bild} (f)\,}$?

Es sei ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein Intervall und ${\displaystyle {}C^{2}(I,\mathbb {R} )}$ der ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-Vektorraum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen auf ${\displaystyle {}I}$. Betrachte die Abbildung

${\displaystyle d\colon C^{2}(I,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{1}(I,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f'.}$

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}d}$ eine ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-lineare Abbildung ist.
2. Bestimme eine Basis von ${\displaystyle {}\operatorname {Kern} (d)\,}$.

Sei die lineare Abbildung ${\displaystyle {}f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}}$ durch ${\displaystyle {}f(x,y,z)=(x+2z,y-z,x+y,2x+3z)}$ definiert.

1. Bestimme die zu ${\displaystyle {}f}$ korrespondierende Matrix ${\displaystyle {}A}$. Ist ${\displaystyle {}f}$ injektiv?
2. Sei ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}}$ eine Basis des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ gegeben durch

   ${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{3}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}}$

   und sei ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}'=\{w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}\}}$ eine Basis des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$ gegeben durch

   ${\displaystyle w_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}},\,w_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\,,w_{3}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\,w_{4}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

   Berechne ${\displaystyle {}A_{{\mathcal {B}}'}^{\mathcal {B}}(f)}$.

Sei

${\displaystyle {}A={\begin{pmatrix}-5&0&7\\6&2&-6\\-4&0&6\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )\,.}$

Berechne:

1. die Eigenwerte von ${\displaystyle {}A}$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix ${\displaystyle {}C\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )}$ derart, dass ${\displaystyle {}C^{-1}AC}$ eine Diagonalmatrix ist.

Sei ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ das Standardskalarprodukt im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$. Bestätige

${\displaystyle {}\Vert {x+y}\Vert ^{2}-\Vert {x-y}\Vert ^{2}=4\left\langle x,y\right\rangle \,.}$

Wir arbeiten auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle {}V=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ der stetigen Funktionen ${\displaystyle {}f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$. Für ${\displaystyle {}i\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {}f\in V}$ sei ${\displaystyle {}\Vert {f}\Vert _{i}\,:=\operatorname {max} {\left\{\vert {f(x)}\vert \mid x\in [-i,i]\right\}}}$. Zeige, dass

${\displaystyle {}d(f,g):=\sum _{i=0}^{\infty }2^{-i}{\frac {\Vert {f-g}\Vert _{i}}{1+\Vert {f-g}\Vert _{i}}}\,}$

eine Metrik auf dem Raum ${\displaystyle {}V}$ definiert. Zeige weiter, dass keine Norm ${\displaystyle {}\Vert {-}\Vert :V\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$ existiert mit ${\displaystyle {}\Vert {f-g}\Vert =d(f,g)}$.

Bestimme eine Basis des Untervektorraums ${\displaystyle {}U=\{\varphi \in \operatorname {Abb} (\mathbb {R} ,\mathbb {R} ):\varphi (x)=0{\mbox{ bis auf endlich viele }}x\in \mathbb {R} \}\subset \operatorname {Abb} (\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\,}$.

Ist ${\displaystyle {}\operatorname {dim} _{\mathbb {Q} }\,\mathbb {R} <\infty }$?

Sind die Funktionen ${\displaystyle {}f_{n}(x):={\frac {1}{n+x}}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$, linear unabhängig im ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle {}\operatorname {Abb} (\mathbb {R} _{>0},\mathbb {R} )}$?

Seien

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&3&4\\3&4&5\\4&5&6\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} ){\mbox{ und }}b={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}.}$

Bestimme

1. ${\displaystyle {}\operatorname {Rang} (A)}$;
2. eine Basis und die Dimension des Lösungsraums des homogenen Gleichungssystems ${\displaystyle {}A\cdot x=0}$;
3. die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems ${\displaystyle {}A\cdot x=b}$.

Wir betrachten die lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&2&5\\4&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq K^{3}}$ der durch die lineare Gleichung ${\displaystyle {}2x+3y+4z=0}$ definierte Untervektorraum von ${\displaystyle {}K^{3}}$, und ${\displaystyle {}\psi }$ sei die Einschränkung von ${\displaystyle {}\varphi }$ auf ${\displaystyle {}U}$. Zu ${\displaystyle {}U}$ gehören Vektoren der Form

${\displaystyle u=(0,1,a),\,v=(1,0,b){\text{ und }}w=(1,c,0).}$

Berechne ${\displaystyle {}a,b,c}$ und die Übergangsmatrizen zwischen den Basen

${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{1}=v,w,\,{\mathfrak {b}}_{2}=u,w{\text{ und }}{\mathfrak {b}}_{3}=u,v}$

von ${\displaystyle {}U}$ sowie die beschreibenden Matrizen für ${\displaystyle {}\psi }$ bezüglich dieser drei Basen (und der Standardbasis auf ${\displaystyle {}K^{2}}$).

Berechne die Determinante der Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1&0&-2\\1&3&3&-1\\3&2&4&-3\\2&-2&2&3\end{pmatrix}}.}$

Sei ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ das Standardskalarprodukt im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$. Bestätige

${\displaystyle {}\Vert {x+y}\Vert ^{2}+\Vert {x-y}\Vert ^{2}=2\Vert {x}\Vert ^{2}+2\Vert {y}\Vert ^{2}\,.}$

Sei ${\displaystyle {}n\geq 2}$. Zeige, dass für die Norm ${\displaystyle {}\Vert {x}\Vert$ :=\operatorname {max} \{\vert {x_{i}}\vert :1\leq i\leq n\}} auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ kein Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ existiert mit der Eigenschaft ${\displaystyle {}\Vert {x}\Vert ={\sqrt {\left\langle x,x\right\rangle }}\,\,}$.