Wir arbeiten auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle {}V=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ der stetigen Funktionen ${\displaystyle {}f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$. Für ${\displaystyle {}i\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {}f\in V}$ sei ${\displaystyle {}\Vert {f}\Vert _{i}\,:=\operatorname {max} {\left\{\vert {f(x)}\vert \mid x\in [-i,i]\right\}}}$. Zeige, dass

${\displaystyle {}d(f,g):=\sum _{i=0}^{\infty }2^{-i}{\frac {\Vert {f-g}\Vert _{i}}{1+\Vert {f-g}\Vert _{i}}}\,}$

eine Metrik auf dem Raum ${\displaystyle {}V}$ definiert. Zeige weiter, dass keine Norm ${\displaystyle {}\Vert {-}\Vert :V\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$ existiert mit

${\displaystyle {}\Vert {f-g}\Vert =d(f,g)}$