Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}n}$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}}$ und sei ${\displaystyle {}W}$ ein ${\displaystyle {}m}$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}}$.

Zu einer linearen Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

heißt die ${\displaystyle {}m\times n}$-Matrix

${\displaystyle {}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}a_{ij}}$ die ${\displaystyle {}i}$-te Koordinate von ${\displaystyle {}\varphi (v_{j})}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {w}}}$ ist, die beschreibende Matrix zu ${\displaystyle {}\varphi }$ bezüglich der Basen.