Es sei ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ ein Intervall und ${\displaystyle {}C^{2}(I,\mathbb {R} )}$ der ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-Vektorraum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen auf ${\displaystyle {}I}$. Betrachte die Abbildung

${\displaystyle d\colon C^{2}(I,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{1}(I,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f'.}$

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}d}$ eine ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-lineare Abbildung ist.
2. Bestimme eine Basis von ${\displaystyle {}\operatorname {Kern} (d)\,}$.