Sei ${\displaystyle {}A={\begin{pmatrix}3&1&5\\-1&0&2\end{pmatrix}}}$ und

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto A\cdot x}$

die zugehörige lineare Abbildung.

1. Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von ${\displaystyle {}\operatorname {Kern} (f)\,}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {Bild} (f)\,}$.
2. Finde einen Untervektorraum ${\displaystyle {}V\subset \mathbb {R} ^{3}}$ derart, dass ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}=V\oplus \operatorname {Kern} (f)\,}$ gilt.
3. Gibt es auch einen Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subset \mathbb {R} ^{2}}$, ${\displaystyle {}U\neq \{0\}}$, mit ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}=U\oplus \operatorname {Bild} (f)\,}$?