Sei die lineare Abbildung ${\displaystyle {}f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}}$ durch ${\displaystyle {}f(x,y,z)=(x+2z,y-z,x+y,2x+3z)}$ definiert.

1. Bestimme die zu ${\displaystyle {}f}$ korrespondierende Matrix ${\displaystyle {}A}$. Ist ${\displaystyle {}f}$ injektiv?
2. Sei ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}}$ eine Basis des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ gegeben durch

   ${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{3}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}}$

   und sei ${\displaystyle {}{\mathcal {B}}'=\{w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}\}}$ eine Basis des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$ gegeben durch

   ${\displaystyle w_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}},\,w_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\,,w_{3}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\,w_{4}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

   Berechne ${\displaystyle {}A_{{\mathcal {B}}'}^{\mathcal {B}}(f)}$.