Sei ${\displaystyle {}M}$ eine quadratische ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix über ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$. Es sei ${\displaystyle {}\varphi _{1}}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${\displaystyle v'=Mv+z_{1}(t)}$

und ${\displaystyle {}\varphi _{2}}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${\displaystyle v'=Mv+z_{2}(t).}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi _{1}+\varphi _{2}}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${\displaystyle v'=Mv+z_{1}(t)+z_{2}(t)}$

ist.

Sei

${\displaystyle {}v'=Mv\,}$

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, sei ${\displaystyle {}L}$ der Lösungsraum dieses Systems und sei ${\displaystyle {}t_{0}\in \mathbb {R} }$. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle L\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,\varphi \longmapsto \varphi (t_{0}),}$

ein Vektorraum-Isomorphismus ist.

Wie transformieren sich in Lemma 42.5 die Anfangsbedingungen?

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&-4\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}.}$

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.}$

b) Löse das Anfangswertproblem

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,}$

mit der Anfangsbedingung

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,.}$

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&0\\0&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-11\end{pmatrix}}.}$

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

b) Löse das Anfangswertproblem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

mit der Anfangsbedingung ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}}}$.

Finde für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-v\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\,}$

Lösungen mit ${\displaystyle {}u(0)=a}$ und ${\displaystyle {}v(0)=b}$, wobei ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {R} }$ sind.

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&-3\\4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}.}$

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,}$

gleich

${\displaystyle {}\chi _{M}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,}$

ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {}D}$ die Ableitung, aufgefasst als Operator^[1]

${\displaystyle D\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto D(f)=f'.}$

Zu einem Polynom ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} [X]}$, ${\displaystyle {}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}}$, betrachten wir den Operator

${\displaystyle P(D)\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto (P(D))(f)=a_{n}D^{n}(f)+\cdots +a_{2}D^{2}(f)+a_{1}D(f)+a_{0}f.}$

Berechne ${\displaystyle {}(P(D))(f)}$ für ${\displaystyle {}P=2X^{3}-4X^{2}+7X-3}$ und ${\displaystyle {}f=x^{4},e^{x},e^{2x},\sin x}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}P(D)}$ eine lineare Abbildung auf ${\displaystyle {}M}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Zeige, dass der Differentialoperator ${\displaystyle {}(D-\lambda )^{n}}$ die Funktionen ${\displaystyle {}x^{j}e^{\lambda x}}$ mit ${\displaystyle {}0\leq j<n}$ auf die Nullfunktion abbildet.

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3&2\\0&2&5\\0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\\v_{3}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}.}$

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3\\0&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}}.}$

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}.}$

Sei ${\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {C} }$. Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,.}$

Bestimme die allgemeine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}t^{2}+e^{t}\\t\end{pmatrix}}.}$