Bestimme die^[1] Lösung des Anfangswertproblems

${\displaystyle v'={\begin{pmatrix}3\\-2\\-5\end{pmatrix}}{\text{ mit }}v(2)={\begin{pmatrix}-4\\6\\-1\end{pmatrix}}.}$

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

${\displaystyle v'={\begin{pmatrix}t^{2}-\sin t\\\cos ^{2}t\end{pmatrix}}{\text{ mit }}v(1)={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}.}$

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems zum Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto (-ay,ax),}$

${\displaystyle {}v(s)=(b,c)}$

(dabei seien ${\displaystyle {}a,b,c,s\in \mathbb {R} }$ fixierte reelle Zahlen).

Es sei ein entkoppeltes Differentialgleichungssystem zum Vektorfeld

${\displaystyle {}F(t,x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(t,x_{1}),\ldots ,f_{n}(t,x_{n}))\,}$

gegeben. Erläutere, wie sich die Lösungen der einzelnen Differentialgleichungen ${\displaystyle {}x_{i}'=f_{i}(t,x_{i})}$ zur Gesamtlösung verhalten, wie dabei die Definitionsintervalle der Lösungen zusammenhängen und was man über die Eindeutigkeit von Lösungen aussagen kann.

Finde alle Lösungen des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto {\left(t^{2}x,yt+\sin t\right)}.}$

Finde die Lösung ${\displaystyle {}\varphi }$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,v,w)\longmapsto {\left(t^{2}-t\right)}(v,w)={\left({\left(t^{2}-t\right)}v,{\left(t^{2}-t\right)}w\right)},}$

mit ${\displaystyle {}\varphi (0)=(1,1)}$.

Bestimme die Lösung ${\displaystyle {}\varphi }$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto e^{t}x{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},}$

mit ${\displaystyle {}\varphi (0)={\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}}$.

Sei

${\displaystyle F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v),}$

ein Vektorfeld. Zeige, dass eine konstante Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon I\longrightarrow U,\,t\longmapsto \varphi (t)=c,}$

genau dann eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ${\displaystyle {}v'=F(t,v)}$ ist, wenn ${\displaystyle {}F(t,c)=0}$ ist für alle ${\displaystyle {}t\in I}$.

Wie löst man eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem stetigen ortsunabhängigen Vektorfeld

${\displaystyle f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v)=g(t)?}$

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

${\displaystyle v'=\left(-\sin ^{3}t\cos t,\,{\frac {t^{3}-t+1}{t^{2}-4}}\right){\text{ mit }}v(0)=\left(3,\,7\right).}$

Finde die Lösung des Anfangswertproblems zum Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi )\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto {\left(xt-3(t+1)e^{-t},{\frac {t^{2}}{\sin y}}\right)}}$

und zur Anfangsbedingung ${\displaystyle {}v(0)=(2,0)}$.

Finde die Lösung ${\displaystyle {}\varphi }$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,v,w)\longmapsto (t^{3}-t)(v,w)=((t^{3}-t)v,(t^{3}-t)w),}$

mit ${\displaystyle {}\varphi (0)=(2,3)}$.

Finde die Lösung ${\displaystyle {}\varphi }$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,v,w)\longmapsto (t^{2}v)(v,w)=(t^{2}v^{2},t^{2}vw),}$

mit ${\displaystyle {}\varphi (0)=(5,-1)}$.

Sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ offen und

${\displaystyle F\colon U\longrightarrow V}$

ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Es sei

${\displaystyle v\colon J\longrightarrow U}$

eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ${\displaystyle {}v'=F(v)}$. Es gebe zwei Zeitpunkte ${\displaystyle {}t_{0}\neq t_{1}}$ in ${\displaystyle {}J}$ mit ${\displaystyle {}v(t_{0})=v(t_{1})}$. Zeige, dass es dann eine auf ganz ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ definierte Lösung dieser Differentialgleichung gibt.