Zeige, dass das Integral zu einer stetigen Kurve

${\displaystyle [a,b]\longrightarrow V}$

${\displaystyle {}V}$

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{5}-1,\,t+\sin t\right).}$

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}.}$

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über ${\displaystyle {}[a,b]}$, und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.

Sei

${\displaystyle \gamma \colon [2,7]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\left(t^{2}-1,t+3\right)},}$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${\displaystyle F(x,y)={\left(y^{2}-x,-3xy-y^{3}\right)}.}$

Sei

${\displaystyle \gamma \colon [1,6]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left(t^{2},t^{3},t\right)},}$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${\displaystyle F(x,y,z)={\left(y^{2}-xz^{2},xy,-3xz-y^{3}z\right)}.}$

Berechne das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }F}$ zum Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (y,x),}$

längs des Weges

${\displaystyle \gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,e^{t}).}$

Sei

${\displaystyle \gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left(t^{2},-t^{2}+1,t\right)},}$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${\displaystyle {}F(x,y,z)={\left(y^{2}-xz,xyz,5x^{2}z-yz\right)}\,.}$

Sei

${\displaystyle \gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),}$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${\displaystyle F(x,y,z)=(y-z^{3},x^{2},-xz).}$

Seien ${\displaystyle {}a,b,c,d,r,s\geq 1}$ natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

${\displaystyle [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{r},t^{s}).}$

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${\displaystyle F(x,y)=(x^{a}y^{b},x^{c}y^{d}).}$

Sei

${\displaystyle \gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),}$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Vektorfeldern.

a) ${\displaystyle {}F(x,y)=(x,y)}$,

b) ${\displaystyle {}F(x,y)=(x,-y)}$,

c) ${\displaystyle {}F(x,y)=(y,x)}$,

d) ${\displaystyle {}F(x,y)=(y,-x)}$.

Es sei

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

ein stetiges Vektorfeld und

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$

ein stetig differenzierbarer Weg. Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}F}$. Zeige

${\displaystyle {}\int _{\gamma }F=G(\gamma (b))-G(\gamma (a))\,.}$

Wir betrachten das identische Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto P.}$

Zeige, dass für je zwei Punkte ${\displaystyle {}P,Q\in \mathbb {R} ^{n}}$ und für jeden stetig differenzierbaren Weg

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

mit ${\displaystyle {}\gamma (a)=P}$ und ${\displaystyle {}\gamma (b)=Q}$ das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }F}$ gleich ${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}{\left(\Vert {Q}\Vert ^{2}-\Vert {P}\Vert ^{2}\right)}}$ ist.

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{5}-1,\,t+\sin t\right).}$

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}.}$

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über ${\displaystyle {}[a,b]}$, und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.

Sei

${\displaystyle \gamma \colon [-2,5]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left(t^{2},-t^{3},t^{2}-t+4\right)},}$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${\displaystyle F(x,y,z)={\left(y^{3}-x^{2}z^{2},x^{2}y,5x^{3}z-y^{2}z\right)}.}$

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (t,-t,t^{2}),}$

und das Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2},xz,y^{2}).}$

a) Berechne das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }F}$.

b) Es sei

${\displaystyle g\colon [0,{\frac {\pi }{2}}]\longrightarrow [0,1],\,s\longmapsto \sin s,}$

und ${\displaystyle {}{\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g}$. Berechne (unabhängig von a)) ${\displaystyle {}\int _{\tilde {\gamma }}F}$

Wir betrachten das Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto {\left(x^{2}-e^{y},xy+\cos x\right)}.}$

Bestimme das Wegintegral längs des gegen den Uhrzeigersinn einmal durchlaufenen Einheitsquadrates.

Wir betrachten das Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x^{3}-xy+2y^{2}}{x^{2}+y^{2}}},\,{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right).}$

Bestimme das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs des linearen Weges von ${\displaystyle {}(0,-2)}$ nach ${\displaystyle {}(3,4)}$.

Wir betrachten das konstante Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto v.}$

Zeige, dass für zwei Punkte ${\displaystyle {}P,Q\in \mathbb {R} ^{n}}$ und jeden stetig differenzierbaren Weg ${\displaystyle {}\gamma \colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle {}\gamma (a)=P}$ und ${\displaystyle {}\gamma (b)=Q}$ das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }F}$ gleich ${\displaystyle {}\left\langle Q-P,v\right\rangle }$ ist.