Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Ordnungsrelation ${\displaystyle {}\preccurlyeq }$ auf einer Menge ${\displaystyle {}I}$.
2. Eine Cauchy-Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ in einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$.
3. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
4. Die Abzählbarkeit einer Menge ${\displaystyle {}M}$.
5. Der Differenzenquotient zu einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }}$

   in einem Punkt ${\displaystyle {}a\in D}$ einer offenen Menge ${\displaystyle {}D\subseteq {\mathbb {K} }}$.

6. Eine konvexe Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.
7. Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion

   ${\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .}$

8. Ein Anfangswertproblem auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ zu einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .}$

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$.
2. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
3. Der zweite Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
4. Der Satz über partielle Integration.

Es seien ${\displaystyle {}M_{1},\ldots ,M_{k}}$ und ${\displaystyle {}N_{1},\ldots ,N_{k}}$ nichtleere Mengen und

${\displaystyle \varphi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow N_{i}}$

Abbildungen für ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,k}$. Es sei ${\displaystyle {}M=M_{1}\times \cdots \times M_{k}}$, ${\displaystyle {}N=N_{1}\times \cdots \times N_{k}}$, und ${\displaystyle {}\varphi }$ die Produktabbildung, also

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow N,\,(x_{1},\ldots ,x_{k})\longmapsto (\varphi _{1}(x_{1}),\ldots ,\varphi _{k}(x_{k})).}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ genau dann surjektiv ist, wenn alle ${\displaystyle {}\varphi _{i}}$ surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.

Zeige, dass für jede natürliche Zahl ${\displaystyle {}n\geq 1}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}3^{n}\geq n^{3}\,}$

gilt.

Bestimme, für welche komplexe Zahlen ${\displaystyle {}z}$ die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n^{n}z^{n}}$

konvergiert.

Bestimme den Grenzwert der Folge

${\displaystyle {\frac {\sin n}{n}},\,n\in \mathbb {N} _{+}.}$

Es sei

${\displaystyle {}f(x)=x^{3}+x-1\,.}$

a) Zeige, dass die Funktion ${\displaystyle {}f}$ im reellen Intervall ${\displaystyle {}[0,1]}$ genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl ${\displaystyle {}q\in [0,1]}$ derart an, dass ${\displaystyle {}\vert {f(q)}\vert \leq {\frac {1}{10}}}$ ist.

Man gebe ein Beispiel einer Funktionenfolge

${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

derart, dass sämtliche ${\displaystyle {}f_{n}}$ nicht stetig sind, die Funktionenfolge aber gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert.

Bestimme den Grenzwert von

${\displaystyle {\frac {x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x+1}}}$

im Punkt ${\displaystyle {}1}$, und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x+3,}$

in einem beliebigen Punkt ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} }$.

Beweise die Kettenregel für die Hintereinanderschaltung ${\displaystyle {}g\circ f}$ von zwei differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle {}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {}g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$.

Betrachte die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=(2x+3)e^{-x^{2}}.}$

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von ${\displaystyle {}f}$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

Besitzt die komplexe Exponentialfunktion

${\displaystyle \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} \setminus \{0\},\,z\longmapsto \exp z,}$

eine differenzierbare Umkehrfunktion?

Man gebe ein Beispiel einer beschränkten Funktion

${\displaystyle f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,}$

die nicht Riemann-integrierbar ist.

Zeige (ohne Stammfunktionen zu verwenden)

${\displaystyle {}\int _{0}^{1}e^{x}dx=e-1\,.}$

Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${\displaystyle {}y'={\frac {y}{t^{2}(t-1)}}\,}$

für ${\displaystyle {}t>1}$.