Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produktmenge aus zwei Mengen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$.
2. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

   ${\displaystyle F\colon L\longrightarrow M}$

   und

   ${\displaystyle G\colon M\longrightarrow N.}$

3. Eine Reihe ${\displaystyle {}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ von komplexen Zahlen ${\displaystyle {}a_{k}}$.
4. Ein Häufungspunkt einer reellen Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$.
5. Die komplexe Exponentialfunktion.
6. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

   ${\displaystyle t\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

   auf einem Intervall ${\displaystyle {}I=[a,b]}$ zur Unterteilung ${\displaystyle {}a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=b}$ und den Werten ${\displaystyle {}t_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$.

7. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .}$

8. Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} }$

   auf einer offenen Menge ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die allgemeine binomische Formel für ${\displaystyle {}(a+b)^{n}}$.
2. Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$.
3. Der Identitätssatz für Potenzreihen.
4. Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen (erste Version).

Berechne die Gaußklammer von ${\displaystyle {}-{\frac {133}{3}}}$.

Zeige mittels vollständiger Induktion für ${\displaystyle {}n\geq 1}$ die Formel

${\displaystyle {}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k={\begin{cases}{\frac {n}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade}},\\-{\frac {n+1}{2}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,}$

Betrachte die Folge ${\displaystyle {}x_{n}=(-1)^{n}}$ und ${\displaystyle {}x=-1}$. Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition) treffen zu?

Zeige, dass die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

mit

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0,\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}}$

nur im Nullpunkt stetig ist.

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe ${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ mit ${\displaystyle {}c_{n}=0}$ für alle geraden Indizes eine ungerade Funktion darstellt.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine bijektive differenzierbare Funktion mit ${\displaystyle {}f'(x)\neq 0}$ für alle ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ und der Umkehrfunktion ${\displaystyle {}f^{-1}}$. Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

${\displaystyle {}(f\circ f^{-1})(y)=y\,.}$

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

${\displaystyle {}(f'(f^{-1}(y))(f^{-1})'(y)=1\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}(f^{-1})'(y)={\frac {1}{(f'(f^{-1}(y))}}\,.}$

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),}$

eine differenzierbare Funktion mit ${\displaystyle {}f(0)=1}$ und mit ${\displaystyle {}f'(x)=\lambda f(x)}$ für alle ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ und ein ${\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {R} }$. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ die Funktionalgleichung

${\displaystyle f(x+y)=f(x)\cdot f(y)}$

für alle ${\displaystyle {}x,y\in \mathbb {R} }$ erfüllt.

Zeige anhand der Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto e^{{\mathrm {i} }z},}$

dass der Mittelwertsatz für komplexwertige Funktionen nicht gelten muss. Man gebe also zwei Punkte ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {C} }$ an derart, dass die Gesamtsteigung ${\displaystyle {}{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ nicht als Ableitung eines Punktes auf der Verbindungsstrecke von ${\displaystyle {}a}$ nach ${\displaystyle {}b}$ auftritt.

Es sei

${\displaystyle f(x)=x^{2}+x-{\frac {7}{4}}.}$

Zu jedem Startwert ${\displaystyle {}x_{0}\in \mathbb {R} }$ betrachten wir die reelle Folge

${\displaystyle x_{n}=f^{n}(x_{0}),}$

es gilt also die rekursive Beziehung ${\displaystyle {}x_{n+1}=f(x_{n})}$. Zeige, dass die Folge für ${\displaystyle {}x_{0}\in [-2,1]}$ einen Häufungspunkt besitzt.

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion

${\displaystyle f(x)=\sin x}$

im Punkt ${\displaystyle {}\pi /2}$ bis zur Ordnung ${\displaystyle {}4}$ (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad ${\displaystyle {}4}$ zum Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}\pi /2}$ an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall ${\displaystyle {}[6,22]}$ (in Stunden) durch die Funktion

${\displaystyle f\colon [6,22]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=-t^{3}+27t^{2}-120t,}$

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, so dass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {x^{5}+3x^{3}-2x^{2}+x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}.}$

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von ${\displaystyle {}f}$.

b) Bestimme eine Stammfunktion von ${\displaystyle {}f}$ für ${\displaystyle {}x>1}$.

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung (${\displaystyle {}y>0}$)

${\displaystyle y'=t^{2}y^{3}}$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?