Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei ${\displaystyle {}x\in K}$.

1. Man sagt, dass die Folge gegen ${\displaystyle {}x}$ hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon \in K}$, ${\displaystyle {}\epsilon >0}$, und alle ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ gilt die Beziehung

   ${\displaystyle {}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,.}$

2. Man sagt, dass die Folge gegen ${\displaystyle {}x}$ supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon \in K}$, ${\displaystyle {}\epsilon \geq 0}$, gibt es ein ${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ die Beziehung

   ${\displaystyle {}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,}$

   gilt.

3. Man sagt, dass die Folge gegen ${\displaystyle {}x}$ megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ und jedes ${\displaystyle {}\epsilon \in K}$, ${\displaystyle {}\epsilon >0}$, die Beziehung

   ${\displaystyle {}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,}$

   gilt.

4. Man sagt, dass die Folge gegen ${\displaystyle {}x}$ pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon \in K}$, ${\displaystyle {}\epsilon >0}$, gibt es ein ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ derart, dass die Beziehung

   ${\displaystyle {}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,}$

   gilt.

5. Man sagt, dass die Folge gegen ${\displaystyle {}x}$ semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon \in K}$, ${\displaystyle {}\epsilon >0}$, und jedem ${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$ gibt es ein ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$, derart, dass die Beziehung

   ${\displaystyle {}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,}$

   gilt.

6. Man sagt, dass die Folge gegen ${\displaystyle {}x}$ protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${\displaystyle {}\epsilon \in K}$, ${\displaystyle {}\epsilon >0}$, derart, dass für alle ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ die Beziehung

   ${\displaystyle {}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,}$

   gilt.

7. Man sagt, dass die Folge gegen ${\displaystyle {}x}$ quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein ${\displaystyle {}\epsilon \in K}$, ${\displaystyle {}\epsilon >0}$, und ein ${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ die Beziehung

   ${\displaystyle {}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,}$

   gilt.

8. Man sagt, dass die Folge gegen ${\displaystyle {}x}$ deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${\displaystyle {}\epsilon \in K}$, ${\displaystyle {}\epsilon >0}$, gibt es ein ${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ die Beziehung

   ${\displaystyle {}x_{n}-x\leq \epsilon \,}$

   gilt.