Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine bijektive differenzierbare Funktion mit ${\displaystyle {}f'(x)\neq 0}$ für alle ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ und der Umkehrfunktion ${\displaystyle {}f^{-1}}$. Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

${\displaystyle {}(f\circ f^{-1})(y)=y\,.}$

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

${\displaystyle {}(f'(f^{-1}(y))(f^{-1})'(y)=1\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}(f^{-1})'(y)={\frac {1}{(f'(f^{-1}(y))}}\,.}$