Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),}$

eine differenzierbare Funktion mit ${\displaystyle {}f(0)=1}$ und mit ${\displaystyle {}f'(x)=\lambda f(x)}$ für alle ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ und ein ${\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {R} }$. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ die Funktionalgleichung

${\displaystyle f(x+y)=f(x)\cdot f(y)}$

${\displaystyle {}x,y\in \mathbb {R} }$