Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion ${\displaystyle {}g(x)=\ln f(x)}$, die wohldefiniert ist, da ${\displaystyle {}f}$ nur positive Werte annimmt. Die Funktion ${\displaystyle {}g}$ ist differenzierbar mit

${\displaystyle {}g'(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {\lambda f(x)}{f(x)}}=\lambda \,.}$

Die Ableitung ist also konstant gleich ${\displaystyle {}\lambda }$, daher ist ${\displaystyle {}g(x)=\lambda x+c}$. Somit ist

${\displaystyle {}f(x)=\exp \left(\ln f(x)\right)=\exp \left(\lambda x+c\right)=\exp \left(\lambda x\right)\exp c\,}$

und wegen ${\displaystyle {}f(0)=1}$ ist ${\displaystyle {}c=0}$. Daher ist

${\displaystyle {}f(x+y)=\exp \left({\lambda (x+y)}\right)=\exp \left({\lambda x+\lambda y}\right)=\exp \left({\lambda x}\right)\cdot \exp \left({\lambda y}\right)=f(x)\cdot f(y)\,.}$