Es sei

${\displaystyle {}f(x,y)=-2xy^{3}-5x^{2}y^{2}+4xy^{2}-7y+3\,.}$

Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung ${\displaystyle {}3}$ im Punkt ${\displaystyle {}P=(-3,4)}$ algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen ${\displaystyle {}u=x+3,v=y-4}$ aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.

Es sei ${\displaystyle {}f\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$, ${\displaystyle {}0\in U\subseteq \mathbb {C} ^{1}}$ offen, eine holomorphe Funktion mit ${\displaystyle {}f(0)=0}$. Zeige, das die folgenden Charakterisierungen einer Zahl ${\displaystyle {}r}$ äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}0}$ ist eine ${\displaystyle {}r}$-fache Nullstelle von ${\displaystyle {}f}$.
2. Es ist ${\displaystyle {}f=x^{r}h}$ mit ${\displaystyle {}h}$ nullstellenfrei im Nullpunkt.
3. Das Jacobiideal zu ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{1}}$ ist ${\displaystyle {}(x^{r-1})}$.
4. Die Milnorzahl zu ${\displaystyle {}f}$ im Nullpunkt ist ${\displaystyle {}r-1}$.
5. ${\displaystyle {}f}$ ist ${\displaystyle {}r}$-bestimmt, aber nicht ${\displaystyle {}(r-1)}$-bestimmt.

Es sei ${\displaystyle {}f\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$, ${\displaystyle {}0\in U\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ offen, eine holomorphe Funktion mit ${\displaystyle {}f(0)=0}$. Zeige, das folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}0}$ ist ein regulärer Punkt von ${\displaystyle {}f}$.
2. Das Jacobiideal zu ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{n}}$ ist das Einheitsideal.
3. ${\displaystyle {}f}$ ist ${\displaystyle {}1}$-bestimmt

Zeige, dass die Funktion ${\displaystyle {}XY}$ ${\displaystyle {}2}$-bestimmt ist.

Bestimme die minimale Bestimmtheit von

${\displaystyle {}f=X^{3}-XY^{2}+Y^{4}\,}$

mit Hilfe von Satz 28.2.

Bestimme die minimale Bestimmtheit von

${\displaystyle {}f=X^{3}+X^{2}Y^{2}-Y^{3}\,}$

mit Hilfe von Satz 28.2.

Bestimme die minimale Bestimmtheit von

${\displaystyle {}f=X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\,}$

mit Hilfe von Satz 28.2.

Bestimme die minimale Bestimmtheit von

${\displaystyle {}f=X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\,}$

mit Hilfe von Satz 28.2.

Es sei ${\displaystyle {}f\colon U\rightarrow \mathbb {C} }$ holomorph mit ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ offen und einer isolierten Singularität im Nullpunkt. Zeige, dass man Satz 28.2 in dieser Situation anwenden kann.

Es definiere ${\displaystyle {}f\in K[X,Y,Z]}$ eine isolierte Singularität im Nullpunkt. Zwischen dem Jacobiideal ${\displaystyle {}J_{f}}$ zu ${\displaystyle {}f}$ und dem maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X,Y,Z)}$ gelte die Beziehung ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{s}\subseteq J_{f}}$ mit ${\displaystyle {}s\in \mathbb {N} _{+}}$.

1. Zeige, dass die Milnorzahl von ${\displaystyle {}f}$ kleinergleich ${\displaystyle {}{\frac {s(s+1)(s+2)}{6}}}$ ist.
2. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ ${\displaystyle {}(s+1)}$-bestimmt ist.

Zeige, dass man für die Funktion

${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\longrightarrow \mathbb {C} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y,}$

Satz 28.2 nicht anwenden kann.

Zeige, dass ${\displaystyle {}X^{2}+XY^{3}}$ rechtsäquivalent zu ${\displaystyle {}U^{2}+V^{6}}$ ist. Führe explizit eine polynomiale Variablentransformation durch.